[論文レビュー] Syndrome decoding by quantum approximate optimization

Ching–Yi Lai, Kao-Yueh Kuo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、古典的および量子誤り訂正符号におけるNP困難なシンディーム・デコーディング問題を解くための量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）を提案する。生成子行列およびチェック行列に基づくコストハミルトニアンを導入し、与えられたシンディームに一致する低重み誤りにQAOAを誘導する。レベル4のQAOAにおいて、[[5,1,3]]および[7,4,3]符号で最大尤度に近い性能を示し、重複性を内蔵して処理するため、高ノイズ率において古典的手法を上回る性能を達成する。

ABSTRACT

The syndrome decoding problem is known to be NP-complete. The goal of the decoder is to find an error of low weight that corresponds to a given syndrome obtained from a parity-check matrix. We use the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) to address the syndrome decoding problem with elegantly-designed reward Hamiltonians based on both generator and check matrices for classical and quantum codes. We evaluate the level-4 check-based QAOA decoding of the [7,4,3] Hamming code, as well as the level-4 generator-based QAOA decoding of the [[5,1,3]] quantum code. Remarkably, the simulation results demonstrate that the decoding performances match those of the maximum likelihood decoding. Moreover, we explore the possibility of enhancing QAOA by introducing additional redundant clauses to a combinatorial optimization problem while keeping the number of qubits unchanged. Finally, we study QAOA decoding of degenerate quantum codes. Typically, conventional decoders aim to find a unique error of minimum weight that matches a given syndrome. However, our observations reveal that QAOA has the intriguing ability to identify degenerate errors of comparable weight, providing multiple potential solutions that match the given syndrome with comparable probabilities. This is illustrated through simulations of the generator-based QAOA decoding of the [[9,1,3]] Shor code on specific error syndromes.

研究の動機と目的

• 近い将来の量子アルゴリズムを用いて、古典的および量子誤り訂正符号におけるNP困難なシンディーム・デコーディング問題に対処すること。
• 生成子行列およびパリティーチェック行列に基づくコストハミルトニアンを設計し、QAOAが低重みでシンディームに一致する誤りに誘導されるようにすること。
• [7,4,3]ハミング符号や[[5,1,3]]および[[9,1,3]]量子符号などの特定の符号におけるQAOAデコーディング性能を評価すること。
• QAOAデコーディングが、複数の異なる誤りが同じ論理的効果を持つ量子符号における重複性を自然に尊重するかを調査すること。
• QAOAデコーディング性能を、境界距離デコーディング（BDD）などの古典的手法と比較し、Jensen–Shannonの差分を用いて分布の類似性を分析すること。

提案手法

• パリティーチェックの満たしと誤り重みの最小化を組み合わせたチェックベースコストハミルトニアンを定式化し、両項のバランスを調整可能なパラメータを備える。
• BruckとBlaumのエネルギー関数をインspirationとして得た生成子ベースコストハミルトニアンを構築し、スパースな生成子行列を有するQAOAに適している。
• 初期状態を等確率重ね合わせ状態として、レベル-$p$ QAOA回路を用いて、有効な誤り解に対応する低エネルギー固有状態へと状態を発展させる。
• コストハミルトニアンの期待値を古典的に最適化することで、QAOAパラメータ$\bm{\gamma}$および$\bm{\beta}$を調整するハイブリッド量子古典最適化ループを適用する。
• 各シンディームに対して、QAOAは候補誤りの分布を出力する；その中からシンディームに一致する最低重みの誤りをデコーディング出力として選択する。
• 小規模な符号では古典的シミュレーションを用い、Jensen–Shannon差分を用いてQAOA出力分布の真の事後分布との類似度を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 少ないレイヤー数（例：レベル4）のQAOAが、小規模な古典的および量子符号において最大尤度デコーディングと同等の性能を達成できるか？
• RQ2 コストハミルトニアンの選択（生成子ベース対チェックベース）が、QAOAデコーディング性能および収束性に与える影響は？
• RQ3 QAOAデコーディングは、複数の異なるパウリ誤りが同じ論理的効果を持つ場合に、自然に重複性を処理するか？
• RQ4 重複性の活用により、QAOAデコーダは高ノイズ領域で古典的手法の境界距離デコーディング（BDD）を上回れるか？
• RQ5 Jensen–Shannon差分で測定した場合、QAOA出力分布は、与えられたシンディームに対する真の事後分布にどの程度近いか？

主な発見

• レベル4のQAOAデコーディングによる[7,4,3]ハミング符号では、最大尤度デコーディングと同等の性能を達成する。
• レベル4の生成子ベースQAOAデコーディングによる[[5,1,3]]量子符号では、境界距離デコーディング（BDD）と同等の性能を示し、デポラライジング率が約0.3を超える領域ではBDDを下回る論理的誤り率を達成する。
• QAOAデコーダは内在的な重複性を有する：同程度の重みを持つが異なる誤り（同じ論理的効果を持つ）は、ほぼ同等の確率で出力される。
• [[5,1,3]]符号では、$\epsilon = 0.32$における真の事後分布とQAOA出力分布のJensen–Shannon差分は0.06658であり、良好な一致を示す。
• $\epsilon = 0.38$では、$\hat{Y}_1$シンディームに対してJS差分が0.1146に増加するが、依然として妥当な近似である。
• 研究では、量子ビット数を増やさずに最適化問題に冗長な節を追加することで、QAOA性能を向上させられると示唆している。