[論文レビュー] Syntactic Complexity of Star-Free Languages

Janusz Brzozowski, Baiyu Li|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2011

semigroups and automata theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、和、補集合、連結によって定義可能なキーレーンスターヌルを用いない正則言語であるスターフリー正則言語の構文的複雑性を調査する。スターフリー言語を特徴付ける部分クラスとして「ほぼ単調な」オートマトンを導入し、これらのオートマトンにおける構文的複雑性のタイトな上界を確立する。また、この上界が、$ n \geq 2 $ におけるすべてのスターフリー言語に一般に適用可能であると仮説を立てている。

ABSTRACT

The syntactic complexity of a regular language is the cardinality of its syntactic semigroup. The syntactic complexity of a subclass of regular languages is the maximal syntactic complexity of languages in that subclass, taken as a function of the state complexity of these languages. We study the syntactic complexity of star-free regular languages, that is, languages that can be constructed from finite languages using union, complement and concatenation. We find tight upper bounds on the syntactic complexity of languages accepted by monotonic and partially monotonic automata. We introduce "nearly monotonic" automata, which accept star-free languages, and find a tight upper bound on the syntactic complexity of languages accepted by such automata. We conjecture that this bound is also an upper bound on the syntactic complexity of star-free languages.

研究の動機と目的

• スターフリー正則言語の構文的複雑性を特定すること。すなわち、与えられた商複雑性を持つ言語における構文的モノイドの最大サイズを求める。
• 構文的複雑性を束縛できるスターフリー言語の部分クラス（単調、部分単調、ほぼ単調なオートマトン）を分析すること。
• すべてのスターフリー言語の構文的複雑性が、ほぼ単調なオートマトンのそれと同じ上界に束縛されることを仮説すること。
• GAPを用いた正確な列挙と計算的検証により、この仮説の証拠を提供すること。特に、小さな状態複雑性について。
• 一般正則言語の $ n^n $ の大きな上界と比較して、スターフリー言語の構文的複雑性を対比すること。

提案手法

• 構文的複雑性を、最小DFAのマイヒル同値と変換モノイドから導かれる構文的モノイドの濃度として定義する。
• 「ほぼ単調な」オートマトンを導入：遷移が1つの状態を除いて単調である決定的有限オートマトンで、非周期的（カウンターフリー）な挙動の制御された解析を可能にする。
• 衝突のない変換解析を用いて、構文的モノイド内の有効な非周期的変換の数を束縛する。特に $ n = 3 $ について、グラフ論的制約を用いる。
• GAPによる計算的列挙を適用し、特に $ n $ 状態上の全変換モノイド $ \mathcal{T}_Q $ の非周期的部分モノイドについて、構文的複雑性のタイトな上界を検証する。
• 入力集合の衝突のない組み合わせの数と、置換を含まない変換の構造に関する組合せ的議論を用いて上界を導出する。
• 単調（$ f(n) = \binom{2n-2}{n-1} $）、部分単調（$ g(n-1) = |PM_{Q'}| $）、ほぼ単調（$ h(n) = |PM_{Q'}| + n - 1 $）の各部分クラスの上界を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商複雑性 $ n $ を持つスターフリー言語の最大構文的複雑性は何か？
• RQ2 一般正則言語の $ n^n $ の上界よりも、スターフリー言語の構文的複雑性はよりタイトに束縛可能か？
• RQ3 ほぼ単調なオートマトンは、スターフリー言語の最悪ケースの構文的複雑性を捉えているか？
• RQ4 スターフリー言語の構文的複雑性は、$ h(n) = |PM_{Q'}| + n - 1 $ で束縛されるか？ここで $ PM_{Q'} $ は $ n-1 $ 状態上の部分単調変換の集合である。
• RQ5 どのアルファベットと状態数において、この仮説の上界がタイトであり、他の部分クラスの既知の上界と比較してどうなるか？

主な発見

• スターフリー言語の構文的複雑性は、一般正則言語の $ n^n $ の上界よりも厳密に小さい。
• $ n = 3 $ の場合、任意のスターフリー言語の構文的複雑性は最大で10であり、これは、衝突のない変換の全列挙により確認されたタイトな上界である。
• ほぼ単調なオートマトンについて、$ h(n) = |PM_{Q'}| + n - 1 $ のタイトな上界を確立した。この上界は、すべてのスターフリー言語の最大構文的複雑性であると仮説されている。
• $ h(n) $ は $ n = 2 $ から $ n = 6 $ まで既知の値と一致しており、$ n \leq 6 $ についてGAP計算によりタイトであることが確認された（$ h(6) = 1007 $）。
• $ h(n) $ は弱い上界 $ (n+1)^{n-1} $ よりも厳密に小さく、$ n^n $ よりも著しく小さいため、スターフリー言語の複雑性が顕著に低減されていることが示唆される。
• $ f(n) = \binom{2n-2}{n-1} $、$ g(n-1) = |PM_{Q'}| $、$ h(n) $ はそれぞれ単調、部分単調、ほぼ単調な場合にタイトであることが示され、$ h(n) $ が中心的な仮説の上界である。