[論文レビュー] Syntactic Interpolation for Tense Logics and Bi-Intuitionistic Logic via Nested Sequents

Tim S. Lyon, Alwen Tiu+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2019

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ネストド・シークエント計算を用いて、時間論理および双直感論理におけるCraig補間を証明する、完全に句法学的な新規手法を提示する。補間子を単一のシークエントから集合へ一般化し、カットを介した双対性のための直交性条件を導入することにより、意味的埋め込みや外部結合子に依存せずに、証明から直接補間子とその導出を構築する。主たる貢献は、正しさを保証するカットに基づく双対性メカニズムであり、これは多項式時間（PTIME）での検証を可能にする。

ABSTRACT

We provide a direct method for proving Craig interpolation for a range of modal and intuitionistic logics, including those containing a "converse" modality. We demonstrate this method for classical tense logic, its extensions with path axioms, and for bi-intuitionistic logic. These logics do not have straightforward formalisations in the traditional Gentzen-style sequent calculus, but have all been shown to have cut-free nested sequent calculi. The proof of the interpolation theorem uses these calculi and is purely syntactic, without resorting to embeddings, semantic arguments, or interpreted connectives external to the underlying logical language. A novel feature of our proof includes an orthogonality condition for defining duality between interpolants.

研究の動機と目的

• 標準的なゲンツェン型シークエント計算を備えない論理、例えば時間論理や双直感論理において、一般的で完全に句法学的なCraig補間の証明手法を開発すること。
• 外部結合子やKripke意味論に依存する従来の意味的または埋め込みに基づく手法の制限を克服すること。
• 補間子の直接的な証明論的構成を提供し、同時にA ⇒ CおよびC ⇒ Bの導出も得られること。
• カットと収縮を介した補間子間の双対性メカニズムを確立し、多項式時間で正しさの検証が可能になるようにすること。

提案手法

• 補間子を単一の論理式からシークエントの集合へ一般化し、ネストドシークエントフレームワーク内でのより柔軟で構造的な補間を可能にする。
• 補間子集合間の直交性条件を導入し、カットと収縮を介した双対性を可能にし、補間子とその直交補集合の和集合から空のシークエントが導出可能であることを保証する。
• カットフリーなネストドシークエント計算を証明体系として用い、逆モダリティや ⊃ および −< などの双直感論理結合子を適切に扱えるように規則を調整する。
• ラベルの出現や変数の依存関係をシークエント全体にわたって追跡する専用の計算体系（BiIntLI）を定義し、補間子を構成する。
• 恒続性および双対性の補題を活用し、導出全体にわたって変数共有と論理的一致性を保つ補間子の構造を保証する。
• 古典的時間論理、そのパス公理拡張、および双直感論理に本手法を適用し、一般性と頑健性を実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 意味論や外部結合子に依存せずに、時間論理および双直感論理におけるCraig補間を句法学的に証明可能か？
• RQ2 補間子を単一の論理式からシークエントの集合へ一般化する場合、正しさと導出可能性を保つにはどうすればよいか？
• RQ3 直交性が補間子間の双対性を定義する役割を果たす仕組みは何か？ そして、これはどのようにカットに基づく検証を可能にするか？
• RQ4 この手法により、A ⇒ B の元の証明から直接的に A ⇒ C および C ⇒ B の導出を構築可能か？
• RQ5 本手法はスケーラブルで効率的か、特に検証の計算複雑性の観点からどうか？

主な発見

• 本手法は、ネストドシークエント計算における完全な句法学的導出のみを用いて、古典的時間論理およびパス公理拡張についてもCraig補間を成功裏に証明した。
• 補間子集合間の直交性の導入により、カットと収縮のみを用いて空のシークエントが導出可能となる双対性メカニズムが実現され、正しさが保証された。
• 本手法は、証明 A ⇒ B から直接的に補間子 C および A ⇒ C と C ⇒ B の導出を構築でき、多項式時間（PTIME）での検証が可能になった。
• 意味的埋め込み、解釈付き結合子、またはKripke意味論を回避したため、双直感論理線形論理のように明確なKripkeモデルが得にくい論理に対しても適用可能である。
• 恒続性および双対性の補題により、補間子は変数共有とラベル依存関係を尊重し、導出全体にわたって論理的一致性を保ったまま維持された。
• 本フレームワークは一般化可能であり、双直感論理線形論理など他の論理へも、同様の直交性原理を用いて拡張可能である。