[論文レビュー] Syntactic Monoids in a Category

Jiřı́ Adámek, Stefan Milius+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

semigroups and automata theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、任意の対称モノイダル閉圏 D に対して、古典的な文法的モノイドの概念を一般化し、モノイド（集合）、半環（半順序集合）、および結合的代数（ベクトル空間）といった文法的代数を統一する。文法的 D-モノイドが最小オートマトンの遷移 D-モノイドと同型であることを証明し、文法的同値関係による自由 D-モノイドの商として構成可能であることを示している。主たる貢献は、局所有限な多様体において D-正則言語を有限な文法的 D-モノイドによって特徴づけるカテゴリカルな枠組みを提供することである。

ABSTRACT

The syntactic monoid of a language is generalized to the level of a symmetric monoidal closed category D. This allows for a uniform treatment of several notions of syntactic algebras known in the literature, including the syntactic monoids of Rabin and Scott (D = sets), the syntactic semirings of Polak (D = semilattices), and the syntactic associative algebras of Reutenauer (D = vector spaces). Assuming that D is an entropic variety of algebras, we prove that the syntactic D-monoid of a language L can be constructed as a quotient of a free D-monoid modulo the syntactic congruence of L, and that it is isomorphic to the transition D-monoid of the minimal automaton for L in D. Furthermore, in case the variety D is locally finite, we characterize the regular languages as precisely the languages with finite syntactic D-monoids.

研究の動機と目的

• モノイド（集合）、半環（半順序集合）、ベクトル空間（ベクトル空間）といった異なる代数的構造における文法的代数を統一的に扱うカテゴリカルな枠組みを構築すること。
• 自由モノイドを文法的同値関係で割るという古典的構成法と、最小オートマトンの遷移モノイドとしての構成法を、任意の対称モノイダル閉圏 D に一般化すること。
• D が局所有限な多様体であるとき、D-正則言語は有限な文法的 D-モノイドを持つ言語として特徴づけられることを示すこと。
• 局所有限な多様体における双対性を用いて、文法的 D-モノイドの双対的特徴づけを確立し、古典的結果をカテゴリカルな設定に拡張すること。

提案手法

• 言語を、入力の自由 D-モノイド X^f から Y への射 L: X^f → Y として定式化する。
• D-オートマトンを、初期状態、出力写像、遷移射を備えた対象として定義し、F-代数と T-余代数に双対化する。
• 文法的 D-モノイドを、言語 L を認識する最小の X-生成 D-モノイドとして定義し、文法的同値関係による自由 D-モノイドの商として構成する。
• D が可換な多様体である場合に、文法的 D-モノイドが最小 D-オートマトンの遷移 D-モノイドと同型であることを証明する。
• D-正則言語を、状態対象が有限生成な D-オートマトンによって受理される言語として定義し、理論を適用する。
• 局所有限な多様体 D において、有限対象の双対多様体 C との双対性を用いて、文法的 D-モノイドの双対的特徴づけを確立し、逆転言語によって生成される局所的言語多様体に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合を超える任意の代数的構造において、古典的な文法的モノイドの概念をどのように一般化できるか？
• RQ2 文法的同値関係による商構成と最小オートマトンの遷移モノイドによる構成という、2つの標準的構成法をカテゴリカルな枠組みで統合できるか？
• RQ3 言語が D-正則言語であるための必要十分条件として、その文法的 D-モノイドが有限生成対象を担う場合にどのような条件が必要か？
• RQ4 局所有限な多様体における双対性が、文法的 D-モノイドの新たな特徴づけをどのように提供するか？

主な発見

• D が可換な多様体である場合、言語 L の文法的 D-モノイドは、L に対する最小 D-オートマトンの遷移 D-モノイドと同型である。
• 同じ仮定のもとで、文法的 D-モノイドは、自由 D-モノイド X^f を文法的同値関係で割った商として構成可能である。
• 局所有限な多様体 D において、言語は D-正則言語であるための必要十分条件が、その文法的 D-モノイドが有限生成対象を担うことに他ならない。
• D が局所有限で、その前双対多様体 C を持つ場合、文法的 D-モノイドは、逆転言語によって生成される局所的言語多様体に対応する。
• 関手 TQ = Y × [X, Q] の最終余代数は、言語の対象 [X^f, Y] で与えられ、D 内のすべての言語の集合を内部化する。
• 理論は既知の構成法を回復する：文法的モノイド（D=集合）、文法的半環（D=半順序集合）、文法的結合的代数（D=ベクトル空間）に加え、ゼロ付きモノイド（D=点付き集合）や対合モノイド（D=対合代数）といった新しいタイプも得られる。