[論文レビュー] Syntax for Split Preorders

Kosta Došen, Zoran Petrić|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、生成子と方程式を用いて、split preorders（SplPre）、split equivalences（Gen）、およびbinary relations（Rel）のカテゴリの句単的公理化を提示し、圏的枠組みの中でそれらの代数的構造——GenにおけるFrobenius構造とRelにおけるbialgebra構造——を確立する。主たる貢献は、正規形による完全性の証明であり、任意の新しい方程式を追加するとシステムが自明になることが示され、提示された方程式理論の最大性が証明される。

ABSTRACT

A split preorder is a preordering relation on the disjoint union of two sets, which function as source and target when one composes split preorders. The paper presents by generators and equations the category SplPre, whose arrows are the split preorders on the disjoint union of two finite ordinals. The same is done for the subcategory Gen of SplPre, whose arrows are equivalence relations, and for the category Rel, whose arrows are the binary relations between finite ordinals, and which has an isomorphic image within SplPre by a map that preserves composition, but not identity arrows. It was shown previously that SplPre and Gen have an isomorphic representation in Rel in the style of Brauer. The syntactical presentation of Gen and Rel in this paper exhibits the particular Frobenius algebra structure of Gen and the particular bialgebraic structure of Rel, the latter structure being built upon the former structure in SplPre. This points towards algebraic modelling of various categories motivated by logic, and related categories, for which one can establish coherence with respect Rel and Gen. It also sheds light on the relationship between the notions of Frobenius algebra and bialgebra. The completeness of the syntactical presentations is proved via normal forms, with the normal form for SplPre and Gen being in some sense orthogonal to the composition-free, i.e. cut-free, normal form for Rel. The paper ends by showing that the assumptions for the algebraic structures of SplPre, Gen and Rel cannot be extended with new equations without falling into triviality.

研究の動機と目的

• 有限順序数上のsplit preorderを捉えるために、生成子と方程式を用いたSplPreの句単的提示を提供すること。
• split equivalenceの部分カテゴリGenとbinary relationsのカテゴリRelが、合成を保存するが恒等射を保存しないように、SplPre内に同型埋め込みを有することを示すこと。
• SplPreの枠組みの中で、GenにおけるFrobenius代数とRelにおけるbialgebra構造という、背後にある代数的構造を明らかにすること。
• 正規形による句単的提示の完全性を証明し、SplPre/GenとRelのcut-free正規形を区別すること。
• SplPre、Gen、およびRelの方程式理論が最大であることを示すこと：非自明な方程式を追加すると、システムが自明になる。

提案手法

• SplPreを、有限順序数を対象とし、出力集合と入力集合の直和上のsplit preorderを射とする圏として定義する。
• Frobenius則とbialgebra則を含む、生成子（例：!, ¡, ∇, ∆）と方程式公理の集合を用いて、SplPre、Gen、Relを提示する。
• 構造を保存する写像を介して、Genと同値関係の圏との間、およびRelとSplPreの部分圏との間で同型を確立する。
• SplPreおよびGenにおける射項の正規形を構成し、Relのcut-free正規形とは直交するようにして、完全性を証明する。
• SplPreとGen、およびGenとRelとの間の同型を用いて、圏間での方程式的推論を移転する。
• 任意の導出不能な方程式が、自明な構造（例：1₁ = 0₁,₁）に収束することを示すことにより、最大性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限順序数上のsplit preorderの圏は、生成子と方程式を用いてどのように句単的に公理化できるか？
• RQ2 split equivalenceの圏（Gen）の背後にある代数的構造は何か？Frobenius代数とどのように関係するか？
• RQ3 SplPre内でのGenのFrobenius構造から、binary relations（Rel）のbialgebra的構造はどのように構成されるか？
• RQ4 SplPreおよびGenの正規形の意味は何か？また、Relのcut-free正規形とはどのように異なるか？
• RQ5 SplPre、Gen、およびRelの方程式理論は、自明でない新しい方程式を追加せずに拡張可能か？

主な発見

• 正規形の存在により、SplPre、Gen、およびRelの句単的提示が完全であることが示された。各射項は一意に正規形で表現される。
• カテゴリGenはFrobenius代数構造を有し、生成子!, ¡, ∇, ∆がFrobenius恒等式を満たす。
• カテゴリRelは、GenのFrobenius構造に基づいたbialgebra的構造を有し、bialgebra則はSplPreにおける合成と双対性から導かれる。
• SplPreおよびGenの正規形は、Relのcut-free正規形とは直交しており、証明表現における根本的な句単的差異を示している。
• SplPre、Gen、またはRelで既に導出できない新しい方程式を追加しようとすると、自明な構造（具体的には1₁ = 0₁,₁への収束）に収束する。これにより、方程式理論の最大性が証明される。
• SplPreにおけるRelの同型像は、合成を保存するが恒等射を保存しない。これは、Relにおける恒等射とSplPreにおける恒等射との間の構造的差異を強調している。