[論文レビュー] Synthesis of Succinct Systems

John Fearnley, Doron Peled+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2012

Formal Methods in Verification参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、時相論理仕様（CTL、LTL）から合成された反応型システムが、多項式サイズの記述を持つオンラインチューリングマシンとしてコンパクトに表現可能かどうかを調査する。すべてのCTL論理式に対してそのような簡潔な表現が存在するための必要十分条件はPSPACE = EXPTIMEであり、高速で簡潔なモデルが存在するための必要十分条件はEXPTIME ⊆ P/polyである。合成の複雑さが計算複雑性理論における主要な未解決問題と関連していることが示された。

ABSTRACT

Synthesis of correct by design systems from specification has recently attracted much attention. The theoretical results imply that this problem is highly intractable, e.g., synthesizing a system is 2EXPTIME-complete for an LTL specification, and EXPTIME-complete for a CTL specification. However, an argument against it is that the temporal specification is highly compact, and the complexity reflects the large size of the system constructed. In that respect, the complexity should, perhaps, be specified relative to the size of the minimal satisfying system. A careful observation reveals that the size of the system is presented in such arguments as the size of its state space. This view is a bit nonstandard, in the sense that the state space can be exponentially larger than the size of a reasonable implementation such as a circuit or a program. Although this alternative measure of the size of the synthesized system is more intuitive (e.g., this is the standard way model checking problems are measured), research on synthesis has so far stayed with measuring the system in terms of the explicit state space. This raises the question of whether or not there always exists a small system. In this paper, we show that this is the case if, and only if, PSPACE = EXPTIME.

研究の動機と目的

• CTLおよびLTLの仕様から合成された反応型システムが、大規模な明示的状態遷移系の代わりにオンラインチューリングマシンを用いてコンパクトに表現可能かどうかを調査すること。
• 合成されたシステムのサイズ（プログラムや回路のような計算モデルの記述長さとして測定）が、仕様のサイズに対して多項式的であるかどうかを特定すること。
• 簡潔で効率的なシステムモデルの存在と、計算複雑性理論における根本的な未解決問題との関係を調査すること。
• オンラインチューリングマシンを現実的なシステム実装モデルとして形式化し、実用的なプログラムや回路表現を捉えること。

提案手法

• 著者たちは、読み取り専用入力、書き込み専用出力、および制限された記憶テープを持つオンラインチューリングマシンとして合成されたシステムをモデル化し、これはプログラムや回路と同等のコンパクトな表現を提供する。
• 小型のオンラインチューリングマシンモデルの存在を、計算複雑性理論の問題に還元する。PSPACE = EXPTIMEは多項式サイズのモデルの存在を、EXPTIME ⊆ P/polyは小型かつ高速（多項式時間応答）なモデルの存在を示す。
• 証明では、すべての論理式に対して小型モデルが存在するならば、対応する複雑性クラスが崩壊することを示すために、既知の複雑性問題への還元を用いる。
• LTLに関しては、普遍的コ・ブーチの木オートマトンを用いて仕様を表現し、指数的サイズのモデル下でのモデル存在性を分析する。これにより、結果はEXPSPACEおよび2EXPTIMEと関連づけられる。
• LTL論理式に対して指数的サイズかつ高速なモデルが存在するならば、EXPTIME ⊆ P/polyが成り立つが、還元におけるアドバイスのサイズ制限のため、逆は証明できない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのCTL論理式が、PSPACE = EXPTIMEであるときかつそのときに限り、サイズが論理式のサイズに対して多項式的なオンラインチューリングマシンモデルを持つだろうか？
• RQ2 すべてのCTL論理式が、EXPTIME ⊆ P/polyであるときかつそのときに限り、サイズが小さくかつ高速（多項式時間応答）なオンラインチューリングマシンモデルを持つだろうか？
• RQ3 同様の簡潔性の結果をLTLの仕様へ拡張できるだろうか？そのようなモデルに必要な複雑性仮定は何か？
• RQ4 合成されたシステムのサイズ（プログラム／回路サイズとして測定）と、合成における明示的状態空間のサイズとの関係は何か？

主な発見

• CTLに関しては、すべての論理式に対してサイズが論理式のサイズに対して多項式的なオンラインチューリングマシンモデルが存在するための必要十分条件はPSPACE = EXPTIMEである。
• CTLに関しては、すべての論理式に対してサイズが小さくかつ高速（多項式時間応答）なオンラインチューリングマシンモデルが存在するための必要十分条件はEXPTIME ⊆ P/polyである。
• PSPACE = EXPTIMEならば、すべてのLTL論理式に対して、仕様を満たす指数的サイズのオンラインチューリングマシンモデルが存在する。
• EXPTIME ⊆ P/polyならば、すべてのLTL論理式に対して、入力に指数的時間で応答する指数的サイズのオンラインチューリングマシンモデルが存在する。
• 高速で小型なLTLモデルの逆方向は、還元における指数的サイズのアドバイスの必要性のため、証明できない。P/poly仮定の適用範囲が制限されている。
• これらの結果は、特定のCTL論理式に対して小型モデルが存在しないことを証明することは、PSPACE ≠ EXPTIMEを示すことになると強調しており、合成と複雑性理論の深い関係を示している。