[論文レビュー] Synthetic Topological Degeneracy by Anyon Condensation

Yi‐Zhuang You, Chao‐Ming Jian+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2012

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、外部場を用いて線状欠陥に沿って任意の粒子（anyon）を凝縮することで、2次元トポロジカル秩序において合成的トポロジカル縮退を生成する手法を提案する。これは、基盤となる格子を変更せずに、移動可能な格子欠陥を模倣するものである。この構成により、線の両端に射影的非アーベル任意粒子（non-Abelian anyons）が実現され、障害に強く耐える量子計算と、任意粒子凝縮を介した制御可能なトポロジカル量子メモリへの道筋を提供する。

ABSTRACT

Topological degeneracy is the degeneracy of the ground states in a many-body system in the large-system-size limit. Topological degeneracy cannot be lifted by any local perturbation of the Hamiltonian. The topological degeneracies on closed manifolds have been used to discover/define topological order in many-body systems, which contain excitations with fractional statistics. In this paper, we study a new type of topological degeneracy induced by condensing anyons along a line in 2D topological ordered states. Such topological degeneracy can be viewed as carried by each end of the line-defect, which is a generalization of Majorana zero-modes. The topological degeneracy can be used as a quantum memory. The ends of line-defects carry projective non-Abelian statistics, and braiding them allow us to perform fault tolerant quantum computations.

研究の動機と目的

• 格子の変形なしに、柔軟で移動可能なトポロジカル欠陥（合成的欠陥）を2次元トポロジカル秩序に設計すること。
• 物理的にアクセス不可能な内在的格子欠陥を、外部場を用いてその効果を模倣することで克服すること。
• 線に沿った制御された任意粒子凝縮を通じて、トポロジカル縮退を生成する体系的フレームワークを確立すること。
• このような合成的欠陥が、障害に強く耐える量子計算に適したバーニング統計を持つ射影的非アーベル任意粒子を保持することを示すこと。
• 任意粒子凝縮を任意のものに一般化し、調整可能なトポロジカル縮退と量子次元を可能にする。

提案手法

• 外部場によって局所的自由度を抑制することで、$ζ_N$格子模型の線状のサイト（またはリンク）に、任意粒子を線に沿って凝縮する。
• 修正されたハミルトニアン $ H = - abla_p O_p + g abla_{i otin abla C} au_i^y $ を用い、1次元鎖に沿って $em$ 任意粒子（フェルミオン的励起）を凝縮することで、メジャナラ鎖を生成する。
• 線欠陥をリンク演算子 $ I $ の鎖としてモデル化し、ストリング様制約を強制し、対流的三格子プラケット演算子を介してねじれた境界条件を実現する。
• 摂動論を用いて有効な低エネルギーハミルトニアンを導出し、偶数 $ N $ の場合に $ (N/2) $ 階の過程から生じる境界項 $ C_l $ を鎖の端に追加する。
• 自己同型に基づく分類法（例：$e$-$m$双対性、電荷共役）を用いて、得られた欠陥の任意粒子的性質を特定する。
• 地面状態縮退が、1組の欠陥に対して奇数 $ N $ の場合 $ N^2 $、偶数 $ N $ の場合 $ (N/2)^2 $ 増加することを示し、それぞれ量子次元 $ N $ および $ N/2 $ を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的格子変形なしに、トポロジカル縮退を合成的に設計可能か？
• RQ2 線状欠陥に沿った任意粒子凝縮が、制御可能な量子次元を持つ射影的非アーベル任意粒子をどのように生成するか？
• RQ3 偶数 $ N $ の場合に有効ハミルトニアンにおける境界演算子 $ C_l $ の役割は何か？ また、トポロジカル縮退にどのように影響するか？
• RQ4 同じメカニズムを一般化し、任意の任意粒子を凝縮することで、多様な種類の合成的欠陥を生成可能か？
• RQ5 合成的欠陥の端同士のバーニングが、どのように障害に強く耐える量子計算を可能にするか？

主な発見

• 外部場を用いて線状に任意粒子（例：$em$ 任意粒子）を凝縮することで、格子構造を変更せずに格子欠陥を模倣する合成的欠陥が実現される。
• この構成により、線欠陥の端に局在化したトポロジカル縮退が生じ、奇数 $ N $ の場合に量子次元 $ N $、偶数 $ N $ の場合に $ N/2 $ を示す。これは追加の $ C_l $ 境界演算子に起因する。
• 有効な低エネルギーハミルトニアンには、対流的三格子プラケット演算子が含まれており、ストリングネット制約を強制し、$e$-$m$ 双対性や電荷共役などの自己同型を実現する。
• 偶数 $ N $ の場合、各端の $ C_l $ 演算子の固有値は $ \\-1, +1 $ であり、縮退を 2 倍の要因で減少させ、結果として量子次元 $ N/2 $ を得るが、非アーベル統計は依然として保持される。
• 任意粒子凝縮を介して、トポロジカルに保護された地面状態縮退を体系的に生成する方法が提供され、制御可能な非アーベル任意粒子の設計が可能になる。
• 合成的欠陥は射影的非アーベル任意粒子を保持しており、そのバーニングにより障害に強く耐える量子計算が可能であり、外部場の制御により欠陥を移動・操作可能である。