[論文レビュー] System of equations and staggered solution algorithm for immiscible two-phase flow coupled with linear poromechanics

Saumik Dana|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2019

Enhanced Oil Recovery Techniques参考文献 38被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、可変性を示す多孔質媒体における不混和二相水-油流れと、混合有限要素法による流れと適合ガラーキン法によるポルオメカニクスを組み合わせた、連成された方程式系とステージド解法アルゴリズムを提示する。主な貢献は、質量保存を厳密に満たし、流体の体積変化および毛管圧力効果を扱える、安定で一体的な解法戦略であり、流体の流れと固体の変形の間のフィードバックを可能にする。

ABSTRACT

This document is a presentation of the equations of simultaneous water and oil flow in deformable porous medium and linear poromechanics as well as the staggered solution algorithm to solve the coupled system of equations.

研究の動機と目的

• 可変性を示す多孔質媒体における不混和二相水-油流れと線形ポルオメカニクスを連成した一貫した数学的モデルの構築を目的とする。
• 固体の変形が流体の流れのダイナミクスに与える影響を無視する従来のモデルの限界を是正することを目的とする。
• 質量保存と物理的整合性を保ちつつ、流体の体積変化、毛管圧力、相対透過率効果を組み込むことを目的とする。
• 安定かつ高精度な連成系の解法を可能にするステージド解法戦略を設計することを目的とする。
• 残留飽和および圧縮性流体挙動に起因する非線形性および特異性を効果的に扱えるロバスト性を確保することを目的とする。

提案手法

• 質量保存、ダルシーの法則、相圧力関係に関する偏微分方程式系を導出。流体の体積変化および毛管圧力を組み込む。
• 局所的質量保存と正確なフラックス近似を実現するため、強化されたBDDF-1速度空間を用いた混合有限要素法を導入。
• ステージド解法アルゴリズムを適用：まずニュートン・ラプソン線形化を用いて流れ系を解き、次に適合ガラーキン法を用いてポルオメカニクス系を解く。
• ポルオメカニクスから得られる体積ひずみを流れモデルにフィードバック項として取り入れ、一方で流れ圧力はポルオメカニクス方程式のソース項として作用させる。
• 残留飽和付近での数値的問題を回避するため、変数変換 $\tilde{\textbf{z}}_{\beta} = \frac{1}{\tilde{\rho}_{\beta}} \textbf{z}_{\beta}$ を用いる。
• 速度空間のカーリーに基づく拡張を施し、要素面を越えた法線速度の連続性を確保することで、局所的保存性を維持するとともに、多点フラックス近似を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変性を示す多孔質媒体における不混和水-油流れと線形ポルオメカニクスを連成した一貫的かつ保存的な数学的モデルをどのように定式化できるか？
• RQ2 流体の体積変化および毛管圧力が、二相系における流れと固体の変形の間の連成に与える影響は何か？
• RQ3 残留飽和および特異的相対透過率に起因する数値的不安定性を、解法アルゴリズムでどのように緩和できるか？
• RQ4 連成流れ-ポルオメカニクス系を安定かつ高精度に解くために最適なステージド解法戦略は何か？
• RQ5 体積ひずみから流体圧力および飽和度へのフィードバックが、全体の系挙動に与える影響は何か？

主な発見

• 提案されたステージド解法は、制約付き方程式系に対するニュートン・ラプソン反復を用いて流れ系を最初に解くことで、二相流れと線形ポルオメカニクスを効果的に連成化した。
• 強化されたBDDF-1速度空間を用いた混合有限要素法により、複雑な相挙動が存在する状況でも、局所的質量保存と正確なフラックス近似が保証された。
• 体積変化は指数関数的密度モデル $\rho_{\beta} = \rho_{\beta 0} e^{c_{\beta}(p_{\beta}-p_{\beta 0})}$ を用いて扱い、圧縮性流れ領域での精度を向上させた。
• 毛管圧力は、濡れ相飽和度の関数としてモデル化され、ヒステリシス効果を含み、臨界飽和度および残留飽和度を考慮した。
• ポルオメカニクスから流れへのフィードバックは、体積ひずみを介して実装され、これにより体積率が変化し、結果として流体の質量保存およびフラックスに影響を与える。
• 体積変化を含む場合、系は飽和度に関して放物型となるが、体積変化および毛管圧力を両方無視した場合にのみ、双曲型系に退化する。