[論文レビュー] Systematic Measures of Biological Networks, Part I: Invariant measures and Entropy

Yao Li, Yingfei Yi|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2016

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、確率的力学系方程式を用いて、生物学的ネットワークにおける退化性、複雑性、耐障害性を定量化するための数学的基盤を確立する。Fokker-Planck方程式の定常測度の微分エントロピーは、グローバルアトラクターの次元に比例する値に収束し、エントロピーの log ε によるスケーリング極限は n−d に等しくなる。ここで d はアトラクター次元、n は環境次元である。

ABSTRACT

This paper is Part I of a two-part series devoting to the study of systematic measures in a complex biological network modeled by a system of ordinary differential equations. As the mathematical complement to our previous work [31] with collaborators, the series aims at establishing a mathematical foundation for characterizing three important systematic measures: degeneracy, complexity and robustness, in such a biological network and studying connections among them. To do so, we consider in Part I stationary measures of a Fokker-Planck equation generated from small white noise perturbations of a dissipative system of ordinary differential equations. Some estimations of concentration of stationary measures of the Fokker-Planck equation in the vicinity of the global attractor are presented. Relationship between differential entropy of stationary measures and dimension of the global attractor is also given.

研究の動機と目的

• 生物学的ネットワークを常微分方程式でモデル化した場合の、退化性、複雑性、耐障害性という系統的測定のための厳密な数学的枠組みを構築すること。
• システム生物学における重要な概念である退化性について、理論的解析と進化的枠組みの欠如を是正すること。
• ホワイトノイズによる確率的摂動を、Fokker-Planck方程式の不変測度を通じて、ネットワークレベルの性質の定量化に結びつけること。
• 散逸系におけるグローバルアトラクターの幾何的次元と、定常測度の微分エントロピーの間の関係を確立すること。
• ノイズ誘発ダイナミクスが、耐障害性や構造的複雑性といった内在的ネットワーク特性をどのように反映するかを理解する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 生物学的ネットワークをグローバルアトラクターを持つ散逸系の常微分方程式系としてモデル化する。
• 微小な加法的ホワイトノイズ摂動をODEに導入し、確率的微分方程式（SDE）系を得る。
• SDEの確率密度関数の時間発展を記述する関連するFokker-Planck方程式を導出する。
• SDEの定常測度（不変確率測度）を、遷移密度の長期的極限として分析する。
• レベル集合法と定常測度の正則性仮定を用いて、密度がグローバルアトラクター付近に集中する割合を推定する。
• 定常密度に対するエントロピー解析を実施し、ノイズ強度 ε→0 の下での微分エントロピーの漸近的境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズを含む生物学的ネットワークの定常測度の微分エントロピーは、そのグローバルアトラクターの次元とどのように関係するか？
• RQ2 ノイズ強度 ε が 0 に近づく際、不変測度のエントロピーの漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 定常測度のエントロピーが log ε に対して線形にスケーリングする条件は何か？ そしてこれはネットワーク構造に何を示唆するか？
• RQ4 確率的ダイナミクスと不変測度を用いて、生物学的ネットワークにおける退化性を数学的に形式化できるか？
• RQ5 定常測度がアトラクターに関して示す正則性が、エントロピーのスケーリングに果たす役割は何か？

主な発見

• 定常測度の微分エントロピーは下界を満たす：liminf_{ε→0} H(μ_ε)/log ε ≥ n−d。ここで d はグローバルアトラクターの次元、n は環境次元である。
• 定常測度がアトラクターに関して正則性仮定を満たす場合、エントロピーのスケーリングは等号を満たす：lim_{ε→0} H(μ_ε)/log ε = n−d。
• 定常測度のエントロピーは、ε→0 の下で log ε に漸近的に比例し、比例定数は位相空間内でのアトラクターの余次元に等しい。
• ε→0 の下で、定常測度の濃度はグローバルアトラクターの周辺にきわめて集中し、それより外側では指数関数的に減少する。
• レベル集合法とエントロピーの凸性推定を用いることで、アトラクター近傍外の領域からのエントロピー寄与を評価可能に制限できる。
• 本結果は、生物学的ネットワークの幾何的・確率的構造に基づいて、退化性と複雑性を解釈する理論的基盤を提供する。