[論文レビュー] Systems and Categories

Juan Pablo Ramírez|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、対象と関係によって定義されるシステムに基づく数学の基礎的枠組みを提案する。構造、対称性、継承の概念を通じて、圏論、集合論、代数的構造を統合する。整数と有理数を公理的につくり、ケイリーの定理により自己同型群へのファンクター的同型を確立し、位相的システムが基底によって完全に決定されることを示す。閉包作用素と開集合による構成が同等であることも示された。

ABSTRACT

The attempt is to give a formal concpet of system, and with this provide a definition of category, that will also satisfy the definition of a system. An axiomatic base is given, for constructing the group of integers. In the process, we define a group of automorphisms; we are defining an ordered group of functors with a natural transformation between any two. We give an isomorphism from the group of integers into the group of automorphisms, as guaranteed by Cayley's Theorem. The ultimate aim is to use these definitions and concepts, of system and category, to give a general description of mathematics. The third chapter is dedicated to set theory and we provide a proof of the Yoneda Lemma. This is used to prove Cayley's theorem. We see how this relates to the construction of the integers, before introducing representable functors. After lattices, we devote a chapter to group theory. We conlcude with a brief description of topological systems; we describe them as functors on algebraic categories, with a subset of invariant objects. This new version includes a first description of linear spaces. The section for operations has been rewritten and corrected.

研究の動機と目的

• 対象と関係によって定義されるシステムに基づく、数学の統一的概念的枠組みの構築。
• 構造、対称性、継承の原則を、数学的システムの普遍的構成要素として形式化すること。
• 圏論—特にファンクターと自然変換—が、数学的システムにおける継承とシステム形成をどのようにモデル化できるかを示すこと。
• 整数と有理数を、システム理論的視点から公理的に構成し、ケイリーの定理により自己同型群と同型であることを示すこと。
• 位相的システムが基底によって完全に決定されることを証明し、閉包作用素と開集合による構成が同等であることを示すこと。

提案手法

• 対象と関係の集まりとしてシステムを定義し、構造、対称性、継承を核となる原則とする。
• ドメイン、コドメイン、単位元、合成を備えたメタ圏を用いて、矢印と圏を形式化する。
• 基本対象上のべき演算を用いて整数を構成し、自己同型群との群同型が得られることを示す。
• 積、双対順序、対合を用いて有理数系を定義し、和と積の演算を導入する。
• 基底を用いて位相的システムを表現し、基底要素を用いて閉包作用素を定義する。
• 基底から導かれる閉包ファンクターが、開集合による定義された閉包と同等であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数学的システムは、対象と関係のみを用いてどのように形式的に定義できるか？
• RQ2 新しいシステムが既存のものから形成される際に、普遍的原則としての構造、対称性、継承はどのような役割を果たすか？
• RQ3 圏論、ファンクター、自然変換が、数学的システムにおける継承をどの程度モデル化できるか？
• RQ4 整数と有理数は、システム理論的視点からどのように公理的に構成できるか？
• RQ5 位相的システムは基底によって完全に決定されるのか？また、閉包作用素と開集合による構成は同等であるか？

主な発見

• システムは、対象と関係の集まりとして形式的に定義され、構造、対称性、継承が基盤的原則となる。
• 整数の構成は、基本対象上のべき演算を用いて行われ、ケイリーの定理により自己同型群との群同型が保証される。
• 有理数系は双対順序、対合、および和と積の演算を用いて定義され、代数的完備性が保証される。
• 位相的システムの基底は、開集合と閉包作用素を一意に決定し、基底から導かれる閉包と開集合による定義の閉包が同等であることを示す。
• 基底を用いて定義された閉包ファンクターは、標準的な閉包作用素と同型であるため、位相的システムがその基底によって完全に決定されることを証明する。
• 本フレームワークは、集合論、圏論、代数的システムを、単一のシステム理論的基盤の下で成功裏に統合した。