[論文レビュー] Systems formed by translates of one element in $L_p(\mathbb R)$

Edward Odell, Bünyamin Sarı+2 more|ArXiv.org|Jun 5, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一様に離散的集合 $\Lambda\subseteq\mathbb{R}$ 上での単一関数 $f\in L_p(\mathbb{R})$ の平行移動によって生成される $L_p(\mathbb{R})$ の閉部分空間 $X_p(f,\Lambda)$ の構造を調査する。幾何的バナッハ空間論的手法を用いて、$1\leq p\leq 2$ の場合、平行移動の無条件基本列は $\ell_p$ 基底と同値であることを示す。$2<p\leq 4$ の場合、空間は $\ell_p$ に埋め込まれるが、必ずしも $\ell_p$ に同相的ではない。$p>4$ の場合、このような系は $L_p(\mathbb{R})$ の同相的コピーを含み得る。これは、平行移動系理論における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Let $1\le p 4$, there exists $f\in L_p( eal)$ and $Λ\subseteq \zed$ so that $\{f_{(λ)} :λ\inΛ\}$ is unconditional basic and $L_p( eal)$ embeds isomorphically into $X_p (f,Λ)$.

研究の動機と目的

• 単一関数 $f\in L_p(\mathbb{R})$ と一様に離散的集合 $\Lambda\subseteq\mathbb{R}$ に対して生成される部分空間 $X_p(f,\Lambda)$ の幾何的構造を特定すること。
• このような系が $L_p(\mathbb{R})$ で無条件基底、最小系、またはフレームを形成する条件を調査すること。
• これらの平行移動系が、$\ell_p$ や $\ell_p$ に埋め込まれるといった古典的基底とどれほど同値であるかを解明すること。
• $1<p<\infty$ の $L_p(\mathbb{R})$ において、平行移動によって形成される基底やフレームの存在に関する未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 幾何的バナッハ空間論、特に無条件基底および埋め込みの性質を用いて、$X_p(f,\Lambda)$ の構造を分析する。
• 双対性および双対関数型を用いて、反射的 $X$ に対して $\ell_p(\mathbb{Z}, X)$ および $\ell_q(\mathbb{Z}, X^*)$ における平行移動系の挙動を研究する。
• ハーモニック解析の結果、例えばウィーナーのタウーバーリアン定理やフーリエ変換の性質を用いて、$X_p(f,\Lambda)=L_p(\mathbb{R})$ となる条件を特徴付ける。
• $p>4$ の場合の明示的例を構成し、$X_p(f,\Lambda)$ が $L_p(\mathbb{R})$ の同相的コピーを含み得ることを示す。無条件基本列の性質を用いる。
• 弱*-稠密性の議論と射影を用いて、有限次元 $X$ に対して $\ell_p(\mathbb{Z}, X)$ で特定の平行移動系が基底を形成すると仮定した場合の矛盾を導出する。
• 指数関数系 $\mathcal{E}(\Lambda)$ の密度および量 $R(\Lambda)$ に関する既知の結果を活用し、$L_1(\mathbb{R})$-関数が稠密な平行移動系を生成する条件を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 For $1\leq p\leq 2$, is an unconditional basic sequence of translates of $f\in L_p(\mathbb{R})$ equivalent to the unit vector basis of $\ell_p$?
• RQ2 For $2<p\leq 4$, does $X_p(f,\Lambda)$ embed isomorphically into $\ell_p$ when the translates form an unconditional basic sequence?
• RQ3 For $p>4$, can $X_p(f,\Lambda)$ contain an isomorphic copy of $L_p(\mathbb{R})$ when the translates form an unconditional basic sequence?
• RQ4 Does there exist $f\in L_p(\mathbb{R})$ and a uniformly discrete $\Lambda$ such that $\{f_{(\lambda)}\}_{\lambda\in\Lambda}$ forms a basis or frame for $L_p(\mathbb{R})$?
• RQ5 Can $X_1(f,\Lambda)$ embed into $\ell_1$ when $\{f_{(\lambda)}\}$ is a bounded minimal system or frame?

主な発見

• For $1\leq p\leq 2$, if $\{f_{(\lambda)}\}_{\lambda\in\Lambda}$ is an unconditional basic sequence in $L_p(\mathbb{R})$, then it is equivalent to the unit vector basis of $\ell_p$.
• For $2<p\leq 4$, if $\{f_{(\lambda)}\}_{\lambda\in\Lambda}$ is an unconditional basic sequence, then $X_p(f,\Lambda)$ embeds isomorphically into $\ell_p$, though the sequence need not be equivalent to the $\ell_p$ basis.
• For $p>4$, there exists $f\in L_p(\mathbb{R})$ and a uniformly discrete $\Lambda\subseteq\mathbb{Z}$ such that $\{f_{(\lambda)}\}_{\lambda\in\Lambda}$ is an unconditional basic sequence and $X_p(f,\Lambda)$ contains an isomorphic copy of $L_p(\mathbb{R})$, hence of $L_p[0,1]$.
• For $p=1$, if $\{f_{(\lambda)}\}_{\lambda\in\Lambda}$ is a bounded minimal system, then $X_1(f,\Lambda)$ embeds almost isometrically into $\ell_1$, and the same holds if it is a frame.
• In $L_1(\mathbb{R})$, no such system can generate the full space: $X_1(f,\Lambda)\neq L_1(\mathbb{R})$ for any uniformly discrete $\Lambda$, confirming a folk theorem.
• For $2<p<\infty$, if $\{f_{(\lambda)}\}_{\lambda\in\Lambda}$ is an unconditional basic sequence in $L_p(\mathbb{R})\cap L_2(\mathbb{R})$, then it is equivalent to the unit vector basis of $\ell_2$.