[論文レビュー] Systems of Kowalevski type, discriminantly separable polynomials and quad-graphs

Vladimir Dragović, Katarina Kukić|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2011

Mathematical functions and polynomials参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、判別式が一変数多項式の積に分解可能な「判別的可分多項式」を用いて、Kowalevski型の新しい可積分系のクラスを導入する。これにより、 genus 2 のテータ関数を用いた明示的積分が可能になる。主な貢献は、判別式成分の零点構造に基づく、このような多項式の分類であり、それらが二次曲線の線型系や可積分な四角格子（quad-graphs）と関連することを示している。また、一般位置における2値群（two-valued groups）Buchstaber-Novikov とも関連づけられる。

ABSTRACT

We establish a new class of integrable {\it systems of Kowalevski type}, associated with discriminantly separable polynomials of degree two in each of three variables. Defining property of such polynomials, that all discriminants as polynomials of two variables are factorized as products of two polynomials of one variable each (denote one of the polynomial components as $P$), lead to an effective integration procedure. In the motivating example, the celebrated Kowalevski top, the discriminant separability is a property of the polynomial defining the Kowalevski fundamental equation. We construct several new examples of systems of Kowalevski type, and we perform their explicit integration in genus two theta-functions. One of the main tasks of the paper is to classify such discriminantly separable polynomials. Our classification is based on the study of structures of zeros of a polynomial component $P$ of a discriminant. From a geometric point of view, such a classification is related to the types of pencils of conics. We construct also discrete integrable systems on quad-graphs associated with discriminantly separable polynomials. We establish a relationship between our classification and the classification of integrable quad-graphs which has been suggested recently by Adler, Bobenko and Suris. As a fit back, we get a geometric interpretation of their results in terms of pencils of conics, and in the case of general position, when all four zeros of the polynomial $P$ are distinct, we get a connection with the Buchstaber-Novikov two-valued groups on $\mathbb {CP}^1$.

研究の動機と目的

• 判別的可分多項式に基づく、Kowalevski型の新しい可積分系のクラスを定義し、研究すること。
• 3変数における2次多項式の判別的可分多項式を、その判別式成分の零点構造を分析することで分類すること。
• このような多項式と二次曲線の線型系との間の幾何的対応関係を確立すること。
• 分類が可積分四角格子（integrable quad-graphs）のAdler-Bobenko-Suris分類とどのように関連するかを明らかにすること。
• Pの4つの異なる零点を持つ場合に、Buchstaber-Novikov 2値群が ℂP¹ 上で一般位置にどのように関連するかを調査すること。

提案手法

• 多項式の判別式が2つの一変数多項式の積に分解されるという定義的性質（P と表記）を用いる。
• 多項式成分 P の零点配置を分析し、判別的可分多項式を分類する。
• genus 2 のテータ関数を用いて、系の明示的解を構成する。
• 線型系による幾何的解釈を確立し、代数的構造と配置タイプを結びつける。
• 同一の多項式フレームワークから、四角格子上の離散的可積分系を導出する。
• 幾何的・代数的対応を通じて、分類をAdler-Bobenko-Surisの可積分四角格子フレームワークと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 判別的可分多項式を用いて、Kowalevski型系を体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 3変数における2次判別的可分多項式の分類の背後にある幾何的構造は何か？
• RQ3 判別式成分 P の零点配置が、関連する系の可積分性および構造をどのように決定するか？
• RQ4 判別的可分多項式と、可積分四角格子のAdler-Bobenko-Suris分類との関係は何か？
• RQ5 P が4つの異なる零点を持つ場合、系は ℂP¹ 上のBuchstaber-Novikov 2値群とどのように関連するか？

主な発見

• 本稿では、定義多項式が判別的可分であるKowalevski型の新しい可積分系のクラスを確立し、genus 2 のテータ関数を用いた明示的積分が可能になることを示した。
• 3変数における2次判別的可分多項式の完全な分類が、判別式成分 P の零点の幾何的配置に基づいて達成された。
• この分類は、二次曲線の線型系のタイプに対応し、代数的構造の幾何的解釈を提供する。
• 同一の判別的可分多項式から、四角格子上の離散的可積分系が構成され、連続的・離散的可積分系が結びつけられた。
• P が4つの異なる零点を持つ一般位置の状況では、フレームワークが ℂP¹ 上のBuchstaber-Novikov 2値群と関連づけられることが実現された。
• 古典的Kowalevskiトープが、基本方程式の判別式が可分性を示す特殊ケースであることが示され、既知の可積分系と整合性が確認された。