[論文レビュー] Systems of PDEs obtained from factorization in loop groups

Josef F. Dorfmeister, H. Gradl+1 more|ArXiv.org|Jan 8, 1998

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ドリンフェルト＝ソコロフの構成を一般化し、アフィン・カック＝ムーディ代数と放物型部分代数を用いたループ群の因子分解を通じて、正（KdVを一般化）および負（Todaを一般化）の可積分PDE階層を関連付ける。主な結果は、全階層のPDEをパラメトライズするために必要な関数の総数が代数のランクに等しくなる座標化定理であり、非正準的な放物型部分代数への依存性を示す。2ループ形式とバーキホフ分解を用いることで、幾何的に意味のある解を含む。

ABSTRACT

We propose a generalization of a Drinfeld-Sokolov scheme of attaching integrable systems of PDEs to affine Kac-Moody algebras. With every affine Kac-Moody algebra $\gg$ and a parabolic subalgebra $\gp$, we associate two hierarchies of PDEs. One, called positive, is a generalization of the KdV hierarchy, the other, called negative, generalizes the Toda hierarchy. We prove a coordinatization theorem, which establishes that the number of functions needed to express all PDEs of the the total hierarchy equals the rank of $\gg$. The choice of functions, however, is shown to depend in a noncanonical way on $\gp$. We employ a version of the Birkhoff decomposition and a ``2-loop'' formulation which allows us to incorporate geometrically meaningful solutions to those hierarchies. We illustrate our formalism for positive hierarchies with a generalization of the Boussinesq system and for the negative hierarchies with the stationary Bogoyavlenskii equation.

研究の動機と目的

• アフィン・カック＝ムーディ代数から可積分PDEを構成するドリンフェルト＝ソコロフの枠組みを拡張すること。
• 与えられたアフィン・カック＝ムーディ代数と放物型部分代数に関連して、正（KdVを一般化）および負（Todaを一般化）のPDE階層を定義すること。
• 全階層をパラメトライズするために必要な独立関数の数が代数のランクに等しいことを示す座標化定理を確立すること。
• 2ループ形式とバーキホフ分解を用いて、幾何的に意味のある解を階層に系統的に組み込むこと。
• 具体的な例として、一般化されたボウシネスク系（正階層）および静的ボゴヤヴェルンスキー方程式（負階層）における形式の適用を示すこと。

提案手法

• ループ群の文脈におけるバーキホフ分解定理の版を用い、要素を正および負のループ部分群に分解する。
• 幾何的に重要な解を階層構成に含めることを可能にする「2ループ」形式を採用する。
• アフィン・カック＝ムーディ代数に放物型部分代数を関連付けることで、正および負の流れから2つのPDE階層を構成する。
• アフィン・カック＝ムーディ代数のループ群における因子分解手順を適用し、可積分系を生成する。
• ループ群の設定における因子分解データに関連するゼロ曲率条件からPDEを導出する。
• アフィン・カック＝ムーディ代数の構造を用いて、可換な流れの観点から階層方程式を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルト＝ソコロフの枠組みを、アフィン・カック＝ムーディ代数の任意の放物型部分代数に一般化し、可積分PDE系を関連付ける方法は何か？
• RQ2 このような構成から生じるPDE全階層をパラメトライズするために必要な最小の関数の数は何か？
• RQ3 ループ群の因子分解から導かれる階層に、幾何的に意味のある解を系統的に組み込むにはどうすればよいか？
• RQ4 2ループ形式は、標準的でない解のクラスを拡張するために果たす役割は何か？
• RQ5 正階層および負階層は、KdVやTodaといった既知の可積分系とどのように関係しているか？

主な発見

• 座標化定理により、全階層のPDEを表現するために必要な独立関数の数が、アフィン・カック＝ムーディ代数のランクに等しいことが示された。
• これらの関数の選択は、選択された放物型部分代数に非正準的に依存しており、還元の選択に構造的依存があることを示唆している。
• 2ループ形式により、階層に幾何的に意味のある解を含めることができ、標準的な解析的解を超えた解空間が拡張された。
• 形式は一般化されたボウシネスク系を正階層の例として一般化し、この枠組みによる可積分性を示した。
• 静的ボゴヤヴェルンスキー方程式は負階層系として実現され、この方法がKdV型でない可積分系に対しても適用可能であることを確認した。