[論文レビュー] Systems of sets of lengths: Transfer Krull monoids versus weakly Krull monoids

Alfred Geroldinger, Wolfgang Schmid+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Rings, Modules, and Algebras参考文献 33被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、転送クルールモノイドおよび弱クルールモノイドにおける長さの集合の系を調査し、両者とも長さの集合の構造定理を満たすものの、その系が根本的に異なることを明らかにしている。Davenport定数が5であるすべての有限アーベル群について、その系を完全に記述するとともに、有限性条件のもとでも、特定の弱クルールモノイドが転送クルールモノイドでないことを証明している。

ABSTRACT

Transfer Krull monoids are monoids which allow a weak transfer homomorphism to a commutative Krull monoid, and hence the system of sets of lengths of a transfer Krull monoid coincides with that of the associated commutative Krull monoid. We unveil a couple of new features of the system of sets of lengths of transfer Krull monoids over finite abelian groups G, and we provide a complete description of the system for all groups G having Davenport constant D(G) = 5 (these are the smallest groups for which no such descriptions were known so far). Under reasonable algebraic finiteness assumptions, sets of lengths of transfer Krull monoids and of weakly Krull monoids satisfy the Structure Theorem for Sets of Lengths. In spite of this common feature we demonstrate that systems of sets of lengths for a variety of classes of weakly Krull monoids are different from the system of sets of lengths of any transfer Krull monoid.

研究の動機と目的

• 有限アーベル群上の転送クルールモノイドにおける長さの集合の系の構造を理解すること。
• D(G) = 5 であるすべての有限アーベル群について、これまで未知であった長さの集合の系を特定すること。
• 代数的有限性仮定の下で、弱クルールモノイドが転送クルールモノイドと同じ長さの集合の系を持つ可能性を調査すること。
• 長さの集合の構造定理といった共通の構造的特徴を有するにもかかわらず、弱クルールモノイドは、いかなる転送クルールモノイドとも根本的に異なる長さの集合を持つ可能性があることを確立すること。
• 弱クルールモノイド（例えば数体の整域）が、有限型の転送クルールモノイドであるか否かを特徴づける条件を特定すること。

提案手法

• 著者たちは、弱転送準同型を用いて、転送クルールモノイドを有限アーベル群上のゼロ和列に関連付け、既知のゼロ和列のモノイド B(G0) の結果を活用している。
• 加法的組合せ論およびクルール整域の理論の深い結果を応用し、D(G) = 5 である群 G に対して B(G) の長さの集合の構造を分析している。
• 組合せ論的および群論的技法を用いて、Davenport定数5のすべての群について、L(G) の明示的記述を構成している。
• 導来イデアルおよび類体論を用いて、v-noetherianな弱クルールモノイドおよびそのイデアルモノイド I*v(H) を分析している。
• 自然な写像 π: X(Ĥ) → X(R) を用いて、弱クルールモノイドが転送クルールであるかどうかを特定しており、特に π が全単射であるか否かに注目している。
• 長さの集合の構造定理を適用し、弾性および距離の集合を分析することで、転送クルールモノイドと弱クルールモノイドの間での長さの集合の系の区別を図っている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D(G) = 5 であるすべての有限アーベル群について、長さの集合の完全な系は何か？
• RQ2 適切な有限性条件のもとで、弱クルールモノイドの長さの集合の系が、いかなる転送クルールモノイドの系とも一致するか？
• RQ3 v-noetherianで有限類群をもつ弱クルールモノイドが、有限型の転送クルールモノイドであるための条件は何か？
• RQ4 長さの集合の系 L(G) は群 G に対して特徴的であるか、すなわち L(G) = L(G') ならば G ≅ G' が成り立つか？
• RQ5 自然写像 π: X(Ĥ) → X(R) が全単射であるとき、I*v(H) または R• が有限型の転送クルールモノイドであると示せる条件は何か？

主な発見

• 本稿は、D(G) = 5 であるすべての有限アーベル群 G について、長さの集合の系 L(G) を完全かつ明示的に記述しており、これまでの知識の空白を解消している。
• D(G) = 5 であるすべての群 G に対して、系 L(G) は非常に構造的であり、長さの集合の構造定理を満たしている。
• 転送クルールモノイドとは同型でない長さの集合の系を持つ弱クルールモノイドが存在するが、両者とも長さの集合の構造定理を満たす。
• 自然写像 π: X(Ĥ) → X(R) が全単射でない場合、可逆イデアルのモノイド I*v(H) の弾性は無限大となり、これはそれが有限型の転送クルールモノイドでないことを示している。
• 数体の半正規整域 R に対して、モノイド I*v(H) が有限型の転送クルールモノイドであるための必要十分条件は、写像 π が全単射であることである。
• R が v-noetherian な弱クルール整域で、有限類群をもち、写像 π が全単射である場合、類群の代表元および自然な全射 δ に関する追加条件を満たすと、R は有限型の転送クルール整域である。