[論文レビュー] Systems of small linear forms and Diophantine approximation on manifolds

Victor Beresnevich, Vasili Bernik+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非退化多様体上のディオファントス近似に対するキンチン型定理を確立し、同時に小さな線形形式の系への結果を拡張する。単調性の制約なしに収束ケースを証明し、ハウスドルフ測度における発散ケースを示し、非退化多様体上での同時に小さな線形形式の系における極値性設定での最良の改善を達成する。

ABSTRACT

We develop the theory of Diophantine approximation for systems of simultaneously small linear forms, which coefficients are drawn from any given analytic non-degenerate manifolds. This setup originates from a problem of Sprindžuk from the 1970s on approximations to several real numbers by conjugate algebraic numbers. Our main result is a Khintchine type theorem, which convergence case is established without usual monotonicity constrains and the divergence case is proved for Hausdorff measures. The result encompasses several previous findings and, within the setup considered, gives the best possible improvement of a recent theorem of Aka, Breuillard, Rosenzweig and Saxcé on extremality.

研究の動機と目的

• 非退化解析的多様体上の係数を有する同時に小さな線形形式の系のディオファントス近似理論を構築すること。
• スプリンツィクの問題（共役代数的数の近似）をより広範な多様体設定に一般化すること。
• 近似関数の単調性を要件としないキンチン型定理を確立すること。
• 発散ケースをハウスドルフ測度を用いて証明し、これまでの埋め込みおよび正規系に関する結果を拡張すること。
• Aka, Breuillard, Rosenzweig, Saxcé による最近の結果において、同時近似の文脈での極値性を改善すること。

提案手法

• 多項式近似の点での評価による一般化として、$ m \times (n+1) $ 行列 $ Y $ を用いて、$ \mathbf{a} \in \mathbb{Z}^{n+1} $ に対して無限に多くの $ Y_j \mathbf{a} $ が $ \Psi(|\mathbf{a}|) $ より小さくなるように問題を定式化すること。
• 高次多項式による変数の再パrametrization を用いて、高次元非退化多様体を低次元非退化曲線に還元するためのファイバー補題を用いること。
• ハウスドルフ測度のフビニ型結果であるスライシング補題を用いて、低次元スライスからの発散結果を高次元集合へと持ち上げること。
• 非退化性に依存する非単調性を許容する収束ケースを扱うために、正規系および埋め込み構造を確立すること。
• 発散ケースにおいて、質量転送原理を用いてルベーグ測度からハウスドルフ測度への結果の転送を行うこと。
• 変数変換 $ t \mapsto t^{1+D^{d_j}} $ を用いて非退化性を保ちつつ、多様体の次元を帰納的に低く抑えること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似関数の単調性を仮定しない場合に、同時に小さな線形形式の系に対するキンチン型定理の収束ケースを確立できるか？
• RQ2 近似関数が非単調であっても、ハウスドルフ測度においてそのような系の発散ケースが成立するか？
• RQ3 非退化解析的部分多様体から係数をとる同時に小さな線形形式の系に対して、多様体上でのディオファントス近似理論を拡張できるか？
• RQ4 Aka, Breuillard, Rosenzweig, Saxcé の結果と比較して、このような系の極値性はどのように異なるか？
• RQ5 非退化多様体上での同時に良い近似が可能な点の集合が、完全なハウスドルフ測度を持つための正確な条件は何か？

主な発見

• 本稿は、非退化解析的多様体上での同時に小さな線形形式の系に対して、単調性制約なしに完全なキンチン型定理を確立した。
• 発散ケースはハウスドルフ測度について証明され、古典的結果を非単調近似関数および一般多様体へと拡張した。
• 収束の主要条件は $ S_{n,m}(\Psi) = \sum_{h=1}^\infty h^{n-m} \Psi^m(h) < \infty $ であり、これは良い近似が可能な点の集合がルベーグ測度ゼロであるときを決定する。
• 発散条件 $ S_{n,m}(\Psi) = \infty $ に加え単調性があれば、任意の球内での完全なルベーグ測度が保証され、古典的結果を多様体設定に拡張した。
• 収束ケースにおける単調性仮定を除外することで、Aka, Breuillard, Rosenzweig, Saxcé の最近の定理を改善した。
• 非退化多様体の任意の次元を扱うために、ファイバー補題およびスライシング補題を用いた新規な帰納的還元を証明で用い、近似問題の構造を保ったまま処理した。