[論文レビュー] Szeg\H{o}-Weinberger type inequalities for symmetric domains with holes

T. V. Anoop, Vladimir Bobkov+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 30被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、中心対称性または2次対称性をもつ領域に対して、Szegő-Weinberger 不等式を穴あき領域へ拡張し、等積条件下で、1番目の正のノイマン固有値が、等積のアニュラス領域 $B_\beta \setminus B_\alpha$ で最大化されることを証明する。高次の固有値についても、4次または8次対称性の下で、$i = 3, \dots, N+2$（$N=2$ の場合は $i=5$）に対して同じアニュラス領域が $\mu_i$ を最大化する。また、アニュラス領域における $\mu_{N+2}$ の固有関数が非回転対称的であることを証明している。

ABSTRACT

Let $\mu_2(\Omega)$ be the first positive eigenvalue of the Neumann Laplacian in a bounded domain $\Omega\subset\mathbb{R}^N$. It was proved by Szeg\H{o} for $N=2$ and by Weinberger for $N \geq 2$ that among all equimeasurable domains $\mu_2(\Omega)$ attains its global maximum if $\Omega$ is a ball. In the present work, we develop the approach of Weinberger in two directions. Firstly, we refine the Szeg\H{o}-Weinberger result for a class of domains of the form $\Omega_{ ext{out}}\setminus\overline{\Omega}_{ ext{in}}$ which are either centrally symmetric or symmetric of order $2$ (with respect to every coordinate plane $(x_i,x_j)$) by showing that $\mu_{2}(\Omega_{ ext{out}}\setminus\overline{\Omega}_{ ext{in}})\leq\mu_2(B_\beta\setminus\overline{B}_\alpha)$, where $B_\alpha, B_\beta$ are balls centered at the origin such that $B_\alpha\subset\Omega_{ ext{in}}$ and $|\Omega_{ ext{out}}\setminus\overline{\Omega}_{ ext{in}}|=|B_\beta\setminus\overline{B}_\alpha|$. Secondly, we provide Szeg\H{o}-Weinberger type inequalities for higher eigenvalues by imposing additional symmetry assumptions on the domain. Namely, if $\Omega_{ ext{out}}\setminus\overline{\Omega}_{ ext{in}}$ is symmetric of order $4$, then we prove $\mu_{i}(\Omega_{ ext{out}}\setminus\overline{\Omega}_{ ext{in}})\leq\mu_i(B_\beta\setminus\overline{B}_\alpha)$ for $i=3,\dots,N+2$, where we also allow $\Omega_{ ext{in}}$ and $B_\alpha$ to be empty. If $N=2$ and the domain is symmetric of order $8$, then the latter inequality persists for $i=5$. Counterexamples to the obtained inequalities for domains outside of the considered symmetry classes are given. The existence and properties of nonradial domains with required symmetries in higher dimensions are discussed. As an auxiliary result, we obtain the non-radiality of the eigenfunctions associated to $\mu_{N+2}(B_\beta\setminus\overline{B}_\alpha)$.

研究の動機と目的

• 古典的Szegő-Weinberger不等式（$\mu_2(\Omega)$ が等積領域の中で球で最大化されること）を、穴あき領域へ一般化すること。
• より強い対称性仮定の下で、同様の固有値最大化が高次の $\mu_i$ に対しても成り立つかを調査すること。
• 中心対称性、2次対称性、4次対称性、8次対称性の各クラスにおいて、アニュラス領域 $B_\beta \setminus B_\alpha$ が $\mu_i$ を最大化することを確立すること。
• $\mu_{N+2}(B_\beta \setminus B_\alpha)$ に対応する固有関数が非回転対称的であることを示す、重要な補助的結果を確立すること。
• 対称性仮定がなければ不等式が成り立たないことを示す反例を提示すること。

提案手法

• 穴あき領域に対し、Weinbergerの対称減少再配置法と固有値の変分的特徴づけを適応する。
• 球面調和関数によるスペクトル分解を用い、対称性を活用してノイマン固有値問題を直交部分空間に分解する。
• $\mathbb{R}^N$ における $q$ 次対称性の概念（座標平面における回転不変性）を定義し、アニュラス領域に適用する。
• 重み付き $L^2$ 内積と、斉次調和多項式空間（$Z_1, Z_2, Z_3$）への直交射影を用い、変分問題を分離する。
• 対称性仮定の下で、内積 $\int_\Omega g(r) p(x) q(x) \, dx$ およびディリクレ型形式 $\int_\Omega \nabla(g(r)p) \cdot \nabla(g(r)q) \, dx$ の明示的積分恒等式を導出する。
• $Z_3$ 内の固有関数の直交化により $\tilde{Z}_3$ を定義し、対称性を保ちつつ鋭い固有値評価を得るための試験関数の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心対称性または2次対称性の下で、穴あき領域に対し Szegő-Weinberger 不等式 $\mu_2(\Omega) \leq \mu_2(B)$ が成り立つかどうか。
• RQ2 $\Omega$ が4次または8次対称性をもつ場合、$i \geq 3$ の高次のノイマン固有値 $\mu_i(\Omega)$ が $\mu_i(B_\beta \setminus B_\alpha)$ で上から抑えられるか。
• RQ3 アニュラス領域 $B_\beta \setminus B_\alpha$ が $i > 2$ の $\mu_i$ を最大化する際に、対称性が果たす役割は何か。
• RQ4 $\mu_{N+2}(B_\beta \setminus B_\alpha)$ に対応する固有関数は非回転対称的か。この性質は不等式の鋭さとどのように関係するか。
• RQ5 不等式は特定の対称性クラスでのみ鋭いのか。これらの対称性が破れるとどうなるか。

主な発見

• 任意の有界領域 $\Omega = \Omega_{\text{out}} \setminus \Omega_{\text{in}}$ が中心対称性または2次対称性をもつとき、$\mu_2(\Omega) \leq \mu_2(B_\beta \setminus B_\alpha)$ が成り立つ。ただし $B_\alpha \subset \Omega_{\text{in}}$ かつ $|\Omega| = |B_\beta \setminus B_\alpha|$ とする。
• もし $\Omega$ が4次対称性をもち $N \geq 3$ ならば、すべての $i = 3, \dots, N+2$ に対して $\mu_i(\Omega) \leq \mu_i(B_\beta \setminus B_\alpha)$ が成り立つ。$\Omega_{\text{in}} = \emptyset$ の場合も含む。
• 平面領域（$N=2$）において、$\Omega$ が8次対称性をもつならば、$i = 3, \dots, 5$ に対して $\mu_i(\Omega) \leq \mu_i(B_\beta \setminus B_\alpha)$ が成り立つ。
• $\mu_{N+2}(B_\beta \setminus B_\alpha)$ に対応する固有関数は非回転対称的である。これは直交分解と対称性の議論により証明された。
• 特定の対称性クラスに属さない領域に対して、不等式が成り立たない反例が構成され、対称性仮定の必要性が確認された。
• 本稿は、中心対称性または2次対称性をもつ等積領域の中で、1番目の正のノイマン固有値 $\mu_2$ がアニュラス領域によって最大化されることを確立し、古典的結果を多重連結領域へ拡張した。