[論文レビュー] Szego\H o-Widom asymptotics of Chebyshev Polynomials on Circular Arcs

Benjamin Eichinger|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、円弧 $A_\alpha$ 上で一様有界な多項式の上界関数に対して、チェビシェフ多項式のSzegő-Widom 渐近挙動を確立し、複素グリーン関数と正則写像 $\lambda(u)$ を用いて明示的な点별極限を導出する。主な結果として、正規化された上界関数が上半平面における再生核の対角成分に収束することを示し、近似理論とヒルベルト空間の構造を結びつける。

ABSTRACT

Thiran and Detaille give an explicit formula for the asymptotics of the sup-norm of the Chebyshev polynomials on a circular arc. We give the so-called $ extrm{Szeg\H o}$-Widom asymptotics for this domain, i.e., explicit expressions for the asymptotics of the corresponding extremal polynomials. Moreover, we solve a similar problem with respect to the upper envelope of a family of polynomials uniformly bounded on this arc. That is, we give explicit formulas for the asymptotics of the error of approximation as well as of the extremal functions. Our computations show that in the proper normalization the limit of the upper envelope represents the diagonal of a reproducing kernel of a certain Hilbert space of analytic functions. Due to Garabedian the analytic capacity in an arbitrary domain is the diagonal of the corresponding $ extrm{Szeg\H o}$ kernel. We don't know any result of this kind with respect to upper envelopes of polynomials. If this is a general fact or a specific property of the given domain, we rise as an open question.

研究の動機と目的

• 区間でないコンパクト集合（円弧）へのSzegő-Widom 渐近挙動の拡張、古典的結果が適用できない状況での研究。
• 多項式の先頭係数や点評価を最大化する極値多項式に対する明示的漸近公式の導出。
• $A_\alpha$ 上で1に有界な多項式の上界関数 $L_n(u)$ の漸近的挙動の特定。
• 上界関数の極限が、ヒルベルト空間における再生核の対角成分に対応するか、Garabedian の解析的容量結果の一般化を検討する。

提案手法

• 極値多項式の正規化とその極限の解析に、複素グリーン関数 $b_{\Omega_\alpha}(z,\infty)$ の使用。
• $\Omega_\alpha$ を扇形 $\Pi$ に写像する正則写像 $\lambda(u) = \left(\frac{ue^{i\alpha}-1}{u-e^{i\alpha}}\right)^{1/4}$ の導入。
• $b_{\Omega_\alpha}(u,\infty)^n P_{n,u_0}(u)$ の極限関数を $n \to \infty$ の下で、$h(\lambda,\lambda_0)$ と $\lambda$ の有理関数として表現。
• 上界関数 $L_n(u)$ が $e^{n g_{\Omega_\alpha}(u,\infty)} k_{\Omega_\alpha}(u,u)$ に一致することの特定、ここで $k_{\Omega_\alpha}$ は $\Pi$ 上の再生核。
• 解析関数の性質と最大値原理を用いて、$L_n(u)$ と $L(u)$ の対数劣調和性の証明。
• $\mathbb{D}$ 外部に固定された極を持つ有理関数に対しても、グリーン関数の積 $B(u)^n$ を用いて結果を拡張。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円弧上に有界な多項式の上界関数は、解析関数のヒルベルト空間における再生核の対角成分に収束するか？
• RQ2 区間でないコンパクト集合（例：円弧）に対し、Szegő-Widom 渐近挙動を明示的に計算可能か？
• RQ3 与えられた点 $u_0 \in \Omega_\alpha$ に対する極値多項式の漸近的挙動はいかなるものか、その極限形は何か？
• RQ4 正規化された上界関数の極限は、固定された極を持つ有理関数のクラスに対しても普遍的か？

主な発見

• 極限 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_{\Omega_\alpha}(u,\infty)^n P_{n,u_0}(u)$ は、$\lambda(u)$, $\lambda_0$, および $h(\lambda,\lambda_0)$ を含む有理関数として明示的に与えられる。
• 上界関数 $L_n(u)$ は $L_n(u) \sim e^{n g_{\Omega_\alpha}(u,\infty)} k_{\Omega_\alpha}(u,u)$ を満たし、ここで $k_{\Omega_\alpha}(u,u_0) = \frac{2\lambda\overline{\lambda}_0}{(\lambda + \overline{\lambda}_0)^2}$ である。
• $u_0$ における極限関数は $L(u_0) = k_{\mathbb{H}_+}(\lambda_0, \lambda_0)$ を満たし、再生核の対角成分性が確認される。
• 上界関数 $L_n(u)$ は $\Omega_\alpha$ 上で対数劣調和であり、グリーン関数の収束と最大値原理により、その対数が劣調和である。
• 固定された極 $C = \{c_1, \dots, c_g\}$ を $\mathbb{D}$ 外部に持つ有理関数に対しても結果が拡張可能で、極限には $B(u)^n = \prod_k b_{\Omega_\alpha}(u,c_k)^n$ が関与する。
• 有理関数に対する正規化された上界関数の極限は $M_n(u) \sim e^{n \sum_k g_{\Omega_\alpha}(u,c_k)} k_{\Omega_\alpha}(u,u)$ を満たし、普遍的な構造が示唆される。