[論文レビュー] Szego kernels and a theorem of Tian

Steve Zelditch|ArXiv.org|Feb 3, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、コンpact Kähler多様体上の正の線束の高次のベクトル束の正規直交基底のノルムの二乗和について、完全な漸近展開を確立する。微小局所的解析を用いてSzegő核のBoutet de Monvel–Sjöstrandの近似解法と、複素振動積分の停留位相法を適用し、主項が $ N^n $ であり、$ N^{n-1}, N^{n-2}, \dots $ の低次の項を含むことを証明する。Tianの収束結果を $ C^\infty $-位相にまで強化し、歪み関数およびFubini–Study計量の完全な漸近級数を提供する。

ABSTRACT

We give a simple proof of Tian's theorem that the Kodaira embeddings associated to a positive line bundle over a compact complex manifold are asymptotically isometric. The proof is based on the diagonal asymptotics of the Szego kernel (i.e. the orthogonal projection onto holomorphic sections). In deriving these asymptotics we use the Boutet de Monvel-Sjostrand parametrix for the Szego kernel.

研究の動機と目的

• コンpact Kähler多様体上での高次のベクトル束 $ L^{igotimes N} $ の正則セクションのノルムの二乗和について、完全な漸近展開を確立すること。
• Fubini–Study形式の引き戻しの収束がTianの結果に基づき、$ C^2 $ 以上に強く、$ C^\infty $-収束であることを示すこと。
• ハーミート計量 $ h_N $ とFubini–Study計量 $ h_{FS,N} $ 間の歪み関数の完全な漸近級数を導出すること、低次の項を含むこと。
• 多様体 $ M $ 上の正則幾何と、線束 $ L^* $ の単位円周バンドル $ X $ 上のCR幾何を結びつけることにより、Szegő核理論の適用を可能にすること。
• 任意のバックグラウンド計量 $ G $ に関するリッチ曲率の固有値を用いて、比 $ h_N / h_{FS,N} $ の明確な公式を提示すること。

提案手法

• Szegő核 $ \Pi_N(x,x) $ のユニット円周バンドル $ X $ 上におけるBoutet de Monvel–Sjöstrandの近似解法を用い、$ L^2(X) $ をハーディー空間 $ H^2(X) $ に射影する。
• 振動積分表現 $ \Pi_N(x,x) $ に対して、複素振動積分の停留位相法を適用し、位相関数 $ \Psi(t,\theta;x,y) $ 及びその臨界点を分析する。
• 臨界集合 $ \{(t,\theta) = (1,0)\} $ における位相関数のヘッセ行列を計算し、非退化性を示し、高次の項を導くための微分作用素 $ L_\Psi $ を得る。
• 係数が対角上での記号のジャンクティ・データに依存する形で、$ \Pi_N(x,x) \sim N^n C_n s_0(x,x) + N^{n-1} a_1(x,x) + \cdots $ の漸近展開を導出する。
• S^1-不変構造を介して、$ X $ 上のSzegő核と $ \sum_i |S_i^N(z)|_{h_N}^2 $ を関連づけ、セクションの $ L^2 $-ノルムと円周バンドル上の核を結びつける。
• 恒等式 $ \partial_b \bar\partial_b \log \Pi_N(x,x) = \partial_b \bar\partial_b \log s_0(x,x) + O(N^{-1}) $ を用いて、曲率の漸近的性質を導出し、$ \frac{1}{N} \phi_N^* \omega_{FS} \to \omega_g $ が $ C^k $-位相で収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 和 $ \sum_{i=0}^{d_N} |S_i^N(z)|_{h_N}^2 $ は $ N $ のべきの完全な漸近展開をもつのか。もしもそうならば、その係数は何か？
• RQ2 $ \frac{1}{N} \phi_N^* \omega_{FS} $ の収束が $ C^2 $ から $ C^\infty $-位相に強化できるか？
• RQ3 歪み関数 $ h_N / h_{FS,N} $ の正確な漸近的挙動は何か。また、線束の曲率およびバックグラウンド計量の選択にどのように依存するか？
• RQ4 円周バンドル $ X $ 上でのSzegő核の微小局所的解析は、多様体 $ M $ のグローバル幾何および正則セクション空間とどのように関係するか？
• RQ5 ノルムの二乗和の漸近展開における低次の項は、明示的に計算可能であり、曲率不変量を用いて表現可能か？

主な発見

• 和 $ \sum_{i=0}^{d_N} |S_i^N(z)|_{h_N}^2 $ は完全な漸近展開をもつ：$ a_0 N^n + a_1(z) N^{n-1} + a_2(z) N^{n-2} + \cdots $、ただし $ a_0 = 1 $ であり、任意の $ R $ に対して $ O(N^{n-R}) $ の誤差で $ C^k $-ノルムで有効。
• $ \frac{1}{N} \phi_N^* \omega_{FS} $ の収束は $ C^\infty $-位相で成立し、$ C^2 $ 以上に強い。Tianの予想を裏付ける。
• $ \frac{h_{N,z}}{h_{FS,N,z}} = \left( \frac{N}{2\pi} \right)^n |\alpha_1(z) \cdots \alpha_n(z)| + O(N^{n-1}) $、ここで $ \alpha_j(z) $ はバックグラウンド計量 $ G $ に関する $ \operatorname{Ric}(h) $ の固有値。
• バックグラウンド計量 $ G $ が $ \omega_g = \operatorname{Ric}(h) $ に対応するKähler計量であれば、$ \alpha_j(z) \equiv 1 $ となり、$ \frac{h_N}{h_{FS,N}} \sim \left( \frac{N}{2\pi} \right)^n $ となる。
• 複素位相 $ \Psi(t,\theta;x,y) $ に停留位相法を適用した結果、$ t=1, \theta=0 $ に非退化な臨界点をもち、$ N^{-1} $ の完全な級数として $ \Pi_N(x,x) $ の漸近展開が得られる。
• 主係数 $ a_0 = 1 $ は、リーマン–ロッホ多項式への一致により確認され、既知の体積漸近的性質と整合的である。