[論文レビュー] $T^3$-fibrations on compact six-manifolds

Patrick Baier|ArXiv.org|Sep 13, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、結び目の群から $\mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})$ へのモノドロミー表現を用いて、$S^3$ 上の $T^3$-ファイブレーションを構成し、トーラス結び目上に特異ファイバーを持つ。トータル空間の位相的不変量がモノドロミーから代数的に計算可能であることを示し、$S^3\times S^3$ や $S^4\times S^2$ を含む連結和を含むコンパクトな6次元多様体上での新しい $T^3$-ファイブレーションの例を提示する。特異点集合はトーラス結び目 $\mathfrak{t}(2p',3q')$ である。この構成は、$p'$ と $q'$ に数論的条件を満たすすべてのトーラス結び目に一般化可能である。

ABSTRACT

We describe a simple way of constructing torus fibrations $T^3 o X o S^3$ which degenerate canonically over a knot or link in $S^3$. We show that the topological invariants of $X$ can be computed algebraically from the monodromy representation of the fibration. We use this to obtain some new $T^3$-fibrations $S^3 imes S^3 o S^3$ and $(S^3 imes S^3)#(S^3 imes S^3)#(S^4 imes S^2) o S^3$ whose discriminant locus is a torus knot.

研究の動機と目的

• $S^3$ 上に、結び目またはリンク上に正規特異点を持つ $T^3$-ファイブレーションを体系的に構成する方法を開発すること。
• トータル空間 $X$ の位相的不変量が、$H_1(T^3,\mathbb{Z})$ 上の結び目の群のモノドロミー表現から純粋に代数的に計算可能であることを示すこと。
• コンパクトな6次元多様体、特に $S^3\times S^3$ や $S^4\times S^2$ を含む連結和上での新しい $T^3$-ファイブレーションの例を構成すること。
• トーラス結び目群 $G(p,q) = \pi_1(S^3 \setminus \mathfrak{t}(p,q))$ から $\mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})$ への $M$-表現を分類し、それが正規コンパクト化によって $T^3$-ファイブレーションに拡張可能であることを示すこと。

提案手法

• 結び目 $\mathfrak{k}$ 上に特異ファイバーを持つ $S^3$ 上のファイブレーションを、$\pi_1(S^3 \setminus \mathfrak{k}) \to \mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})$ へのアフィン $T^n$-バンドルとモノドロミー表現 $\varrho$ を用いて定義する。
• 線形 $T^3$-バンドルを $S^3 \setminus \mathfrak{k}$ 上に定義し、モノドロミーを用いて結び目上を越えてファイブレーションを自然に拡張する正規コンパクト化手順を適用する。
• アフィン $T^n$-バンドルを分類するためのチャーン類 $c(f) \in H^2(B, \mathcal{L})$ を用い、（$c(f) = 0$ のとき）切断が存在する条件を特定する。
• 普遍被覆 $\widehat{B}$ と $\pi_1(B)$ の $\varrho$ を通じた作用を用い、トータル空間を $X = \widehat{B} \times_\varrho \mathbb{T}^3$ として構成する。
• 特にトーラス結び目 $\mathfrak{t}(p,q)$ に対して、結び目群の表現理論を用いて $\mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})$ への $M$-表現を分類する。
• トータル空間の位相的不変量（例えばベッチ数、オイラー標数）の計算を、モノドロミー表現 $\varrho$ の代数的不変量に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのモノドロミー表現 $\varrho: \pi_1(S^3 \setminus \mathfrak{k}) \to \mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})$ が、結び目 $\mathfrak{k}$ 上に特異ファイバーを持つ $S^3$ 上のコンパクト化可能な $T^3$-ファイブレーションをもたらすか？
• RQ2 このようなファイブレーションのトータル空間 $X$ の位相的不変量は、モノドロミー表現 $\varrho$ からどのように直接計算可能か？
• RQ3 トーラス結び目 $\mathfrak{t}(p,q)$ が非自明な $M$-表現を $\mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})$ に持ちうるためのパrameter $p,q$ の条件は何か？
• RQ4 どのコンパクトな6次元多様体が、特異点集合がトーラス結び目 $\mathfrak{t}(2p',3q')$ である $T^3$-ファイブレーションをもつか？
• RQ5 $\pi_1(S^3 \setminus \mathfrak{t}(p,q))$ の $M$-表現の分類は、$(2,3)$ または $(4,3)$-トーラス結び目に還元可能か？

主な発見

• 本稿は、$p'$ が奇数であるとき、$S^3 \times S^3$ 上に非同相な無限族の $T^3$-ファイブレーションを構成し、特異点集合がトーラス結び目 $\mathfrak{t}(2p',3q')$ であることを示した。
• $p'$ が偶数であるとき、$(S^3 \times S^3)\#(S^3 \times S^3)\#(S^4 \times S^2)$ 上に、別の無限族の $T^3$-ファイブレーションを構成した。
• $(4,3)$-トーラス結び目に対して、同型でない非アーベル $M$-表現 $\varrho_k$ の無限族を明示的に構成した。ここで $\varrho_{-k} = (\varrho_k^{-1})^T$ が成り立つ。
• $(p,q)$-トーラス結び目群の $M$-表現が存在するための必要十分条件は、$p = 2^m p'$ および $q = 3^k q'$ と表され、$\gcd(p',6) = \gcd(q',6) = \gcd(p',q') = 1$ かつ $m,k > 0$ であることである。
• $m=1$ のとき $G(p,q)$ の $M$-表現と $G(2,3)$ のものとの間に自然な全単射があり、$m>1$ のとき $G(4,3)$ のものと対応する。これは、$\pm 1$ での指数化による表現の上昇を用いて達成される。
• トータル空間 $X$ の位相的不変量（ベッチ数、オイラー標数など）は、群表現以外の幾何学的または位相的データを一切必要とせず、モノドロミー表現 $\varrho$ のみによって完全に決定される。