[論文レビュー] T-duality, Gerbes and Loop Spaces

Dmitriy Belov, C.M. Hull+1 more|ArXiv.org|Oct 26, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、gerbeとループ空間幾何学を用いてストリング理論におけるT双対性を再解釈し、トーラス等長変換がハミルトニアンである場合にT双対性が幾何学的に実現されることを示している。二重トーラスファイブレーションのループ空間の余接 bundle にシンプレクティック構造を構成することで、T双対性がハミルトニアンでない対称性の存在に起因する障害を伴ってのみ対称性として現れることが明らかになった。

ABSTRACT

We revisit sigma models on target spaces given by a principal torus fibration $X o M$, and show how treating the 2-form B as a gerbe connection captures the gauging obstructions and the global constraints on the T-duality. We show that a gerbe connection on X, which is invariant with respect to the torus action, yields an affine double torus fibration Y over the base space M - the generalization of the correspondence space. We construct a symplectic form on the cotangent bundle to the loop space LY and study the relation of its symmetries to T-duality. We find that geometric T-duality is possible if and only if the torus symmetry is generated by Hamiltonian vector fields. Put differently, the obstruction to T-duality is the non-Hamiltonian action of the symmetry group.

研究の動機と目的

• B場のフラックスを伴うσ模型におけるT双対性のグローバルな障害を明確化すること。
• 主トーラスファイブレーション上のgerbe接続を用いてT双対性を再定式化すること。
• トーラスの対称性がハミルトニアンベクトル場によって生成される場合に限り、幾何学的T双対性が実現されることを示すこと。
• T双対対応空間のループ空間の余接 bundle にシンプレクティック形式を構成すること。
• Courant括弧と電流代数の還元がT双対性機構に果たす役割を特定すること。

提案手法

• B場をgerbe上の接続とみなすことにより、フラックスと障害のグローバル記述が可能になる。
• 標準的なT双対設定を一般化した、基底 M 上のアフィン二重トーラスファイブレーションとしての対応空間 Y を構成する。
• ターゲット空間からのプルバックで得られるシンプレクティック形式を用いて、ループ空間 LY の余接 bundle にシンプレクティック構造を定義する。
• ねじれた電流代数の還元を用いて、基底多様体 M 上の有効なCourant括弧を導出する。
• Courant括弧形式的枠組みを用いて、T双対変換をループ空間の幾何学とハミルトニアン条件に関連付ける。
• 非ハミルトニアントーラス作用に起因する障害を、非ゼロの障害類の非消滅によって分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なB場フラックスを伴うσ模型におけるT双対性のグローバルな障害は何か？
• RQ2 主トーラスファイブレーション上のgerbe接続は、フラックスと torsion データを含めたT双対性の完全な構造をどのように捉えることができるか？
• RQ3 どのような条件下で、幾何学的T双対性がσ模型のループ空間の対称性として実現されるか？
• RQ4 基底多様体 M 上のCourant括弧構造は、T双対変換とどのように関係するか？
• RQ5 トーラス作用のハミルトニアン性が、T双対性を対称性として可能にする役割は何か？

主な発見

• T双対性は、トーラス等長変換がハミルトニアンベクトル場によって生成される場合に限り幾何学的に実現され、非ハミルトニアン作用は障害を引き起こす。
• 対応空間 Y は、基底 M 上のアフィン二重トーラスファイブレーションとして構成され、T双対幾何学はループ空間のシンプレクティック構造に符号化されている。
• ループ空間 LY の余接 bundle にシンプレクティック形式が定義され、その対称性はT双対変換に対応する。
• ねじれた電流代数の還元により、基底 M 上にCourant括弧が得られ、そのねじれ形式 H3 は一般に閉じていないが、グローバルフラックス構造を反映している。
• Courant括弧の O(n,n,Z) 対称性は、非自明な B0 および H0 フラックスによって明示的に破れる。これらはトーラスのリー代数構造に結合する。
• T双対性の障害は、ベクトル場 KI がハミルトニアンでないことに起因し、式 (1.2) 及びその一般化である式 (1.3) に記述された条件によって捉えられる。