[論文レビュー] 't Hooft expansion of multi-boundary correlators in 2D topological gravity

Kazumi Okuyama, Kazuhiro Sakai|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 36被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Korteweg–De Vries (KdV) 方程式を用いて、2次元トポロジカル重力における多境界相関関数の't Hooft展開を体系的に計算する手法を開発する。1境界相関関数に関しては、開き自由エネルギーの計算と類似したアルゴリズムを提示し、高次相関関数が低次関数から代数的に再構成可能であることを示す。この手法は、Jackiw–Teitelboim 重力における既知の結果を再現し、アイリーケースにおける3境界相関関数についても正確な't Hooft展開を提供し、明示的な計算によって一貫性を確認する。

ABSTRACT

We study multi-boundary correlators of Witten-Kontsevich topological gravity in two dimensions. We present a method of computing an open string like expansion, which we call the 't Hooft expansion, of the $n$-boundary correlator for any $n$ up to any order by directly solving the Korteweg-De Vries equation. We first explain how to compute the 't Hooft expansion of the one-boundary correlator. The algorithm is very similar to that for the genus expansion of the open free energy. We next show that the 't Hooft expansion of correlators with more than one boundary can be computed algebraically from the correlators with a lower number of boundaries. We explicitly compute the 't Hooft expansion of the $n$-boundary correlators for $n=1,2,3$. Our results reproduce previously obtained results for Jackiw-Teitelboim gravity and also the 't Hooft expansion of the exact result of the three-boundary correlator which we calculate independently in the Airy case.

研究の動機と目的

• 一般の結合定数 tk を持つ2次元トポロジカル重力における n 境界相関関数の't Hooft展開を体系的に計算する手法の開発。
• 大 N 限界および固有値インスタントン効果に関連する、オープンストリングに類似た't Hooft展開へのジャンル展開形式の拡張。
• 2 以上の n 点関数の't Hooft展開が、マスター微分方程式を介して低次関数から代数的に計算可能であることを示すこと。
• Jackiw–Teitelboim 重力における既知の結果の再現を通じた手法の検証、およびアイリーケースにおける3境界相関関数の正確な't Hooft展開の計算。

提案手法

• 本手法は、相関関数の生成関数を記述する中心的力学方程式として、Korteweg–De Vries (KdV) 方程式を用いる。
• 1境界相関関数に関しては、行列模型における開き自由エネルギーの計算と類似したアルゴリズムを用いて't Hooft展開を計算する。
• n 点関数の't Hooft展開は、KdV方程式を多境界系に一般化したマスター微分方程式（式 5.15）から導出される。
• 境界生成演算子 B(β) = gs√(β/2π) ∑d β^d ∂/∂td を用いて、ジャンル展開を't Hooft極限に写像する。
• マスター方程式の構造を用いて、低次関数からの代数的再構成により、高次相関関数を再帰的に計算する。
• 一貫性の確認としてアイリーケースを用い、正確な3境界相関関数を計算し、その't Hooft展開が形式の予測と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の n および展開パラメータの任意の次数において、2次元トポロジカル重力における多境界相関関数の't Hooft展開を体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 n 点関数の't Hooft展開と低次関数を結ぶ代数的構造は何か？
• RQ3 Witten–Kontsevich モデルにおける't Hooft展開は、JT重力におけるスペクトル形式因子およびラムプ–プラトー遷移とどのように関係するか？
• RQ4 この形式は、Jackiw–Teitelboim 重力およびアイリーケースにおける既知の結果を再現できるか？
• RQ5 KdV方程式およびその一般化が、多境界相関関数の't Hooft展開をどのように符号化しているか？

主な発見

• 1境界相関関数の't Hooft展開は、開き自由エネルギーの計算と類似したアルゴリズムにより計算され、主要項はバーカー–アキエツァー関数に関連している。
• 2点以上関数の't Hooft展開は、マスター微分方程式（式 5.15）を介して低次関数から代数的に決定され、これはKdV方程式の多境界系への一般化である。
• 本手法は、事前に知られていたJackiw–Teitelboim 重力における結果を再現し、以前の研究と一貫性を確認した。
• アイリーケースにおける3境界相関関数に関しては、正確な結果が計算され、その't Hooft展開が形式の予測と K(3)_3 までの次数で一致することが示された。
• 主要項の't Hooft展開は、バーカー–アキエツァー関数のラプラス変換によって定義される開き自由エネルギーと密接に関係している。
• 本形式は、't Hooft極限における多点スペクトル形式因子およびクエンチド自由エネルギーのラムプ–プラトー遷移領域を一貫して研究するためのフレームワークを提供する。