[論文レビュー] $t$-Structures on stable derivators and Grothendieck hearts

Manuel Saorı́n, Jan Šťovíček+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ホモトピー代数と随伴関手を用いて、Grothendieckのハートを介して安定導来圏上の$t$-構造を構成するための枠組みを確立する。導来圏における分解完全な系列が、左随伴および右随伴を含む自然同型に対応することを証明し、ホコリミットとベースチェンジ関手を含む図式の可換性に関する主要な結果を提示する。

ABSTRACT

We prove that given any strong, stable derivator and a $t$-structure on its base triangulated category $\cal D$, the $t$-structure canonically lifts to all the (coherent) diagram categories and each incoherent diagram in the heart uniquely lifts to a coherent one. We use this to show that the $t$-structure being compactly generated implies that the coaisle is closed under directed homotopy colimit which in turns implies that the heart is an (Ab.$5$) Abelian category. If, moreover, $\cal D$ is a well generated algebraic or topological triangulated category, then the heart of any accessibly embedded (in particular, compactly generated) $t$-structure has a generator. As a consequence, it follows that the heart of any compactly generated $t$-structure of a well generated algebraic or topological triangulated category is a Grothendieck category.

研究の動機と目的

• 安定導来圏上の$t$-構造をGrothendieckのハートを用いて体系的に構成するための方法を開発すること。
• コサイドと完全に忠実な関手が導来圏における正確性を制御する役割を明確にすること。
• 導来圏の文脈において、導来関手、ホコリミット、ベースチェンジ関手を含む図式の可換性を確立すること。
• インデックス圏に特定の条件下で評価を行うと、$D(1)$における分解完全な系列が得られることを証明すること。
• 導来設定における自然変換$\epsilon_u$、$\eta_i$、および$\gamma_!$の振る舞いを特徴づけること。

提案手法

• 完全に忠実な関手$i: \prime 1 \to I$に対する随伴$ i_! \dashv i^* $を用いて、導来射影空間を分析する。
• $k \in I \setminus J$ に対して自然同型$ k^* \epsilon_k \cong \mathrm{id} $を適用し、分解完全な系列を導出する。
• ホコリミット関手$\mathrm{Hocolim}_{u/i}$ およびベースチェンジ関手$\mathrm{pt}_{u/i}^*$ を用いて、圏間の射を関連付ける。
• 随伴および導来圏公理(Der.4)によって誘導される可逆な自然変換$\gamma_!$ および$\eta_{u/i}$ に依存する。
• 圏$u/i$における射$(j,a): j \to i$における評価を通じて、射の作用を分析する。
• 随伴の自然性および三角恒等式を用いて、図式の可換性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてGrothendieckのハートを用いて、安定導来圏上の$t$-構造を体系的に構成できるか？
• RQ2 どの条件下で、$k \in I$ における評価が$D(1)$における分解完全な系列をもたらすか？
• RQ3 導来射影空間において、自然変換$\epsilon_u$、$\eta_i$、$\gamma_!$ はどのように相互作用するか？
• RQ4 圏$u/i$における対象$(j,a): j \to i$における、写像$\mathrm{pt}_{u/i}^*(f) \circ \gamma^*$ の明確な作用は何か？
• RQ5 $u_!u^*$、$i_!i^*$、およびホコリミットを含む図式は、どのような条件下で可換となり、これにより導来関手にどのような意味が生じるか？

主な発見

• $k \in J$ に対して、$k$における評価は、$k^*\epsilon_u$ が同型である分解完全な系列$0 \to k^*u_!u^*\mathscr{X} \xrightarrow{k^*\epsilon_u} k^*\mathscr{X} \to 0$ をもたらす。
• $k \in I \setminus J$ に対して、系列$ k^*k_!k^*u_!u^*\mathscr{X} \to k^*k_!k^*\mathscr{X} \sqcup k^*u_!u^*\mathscr{X} \to k^*\mathscr{X} $ は分解完全である。
• 命題3.6における図式は可換であり、すべての列は随伴および導来圏公理によって誘導される自然同型である。
• 対象$(j,a): j \to i$における$\mathrm{pt}_{u/i}^*(f) \circ \gamma^*$ の作用は、$f \circ \mathscr{X}_a: \mathscr{X}_j \to \mathscr{Y}_i$ で与えられる。
• 命題3.7における図式は、$\gamma_!$、$\eta_i$、$\eta_{u/i}$ の自然性および恒等式$\gamma^* = (\gamma_!)^*$ により可換である。
• 合成$\mathrm{pt}_{u/i}^* \circ i^* \circ \epsilon_u \circ u_!$ は$\gamma^* \circ \mathrm{pr}_i^*$ に等しく、図式の可換性が確認される。