[論文レビュー] Tableau Proof Systems for Justification Logics

Meghdad Ghari|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、正当かつ完全なテーブルックス証明体系を、正当な表形式の帰納的証明法を用いて、新しいクラスのアナリティック・テーブルックスに対して提示する。主な貢献は、切断の消去を文脈的に証明する手法であり、完全性の確保と、証明内のすべての論理式が根の弱い部分論理式であることを保証する。これにより、決定可能でアナリティックな体系としての正当な証明理論的基盤が強化される。

ABSTRACT

In this paper we present tableau proof systems for various justification logics. We show that the tableau systems are sound and complete with respect to Mkrtychev models. In order to prove the completeness of the tableaux, we give a syntactic proof of cut elimination. We also show the subformula property for our tableaux.

研究の動機と目的

• さまざまな正当化論理のための正当かつ完全なテーブルックス証明体系を開発し、従来の非アナリティックな体系を超える。
• 文脈的証明により切断の消去を確立し、アナリティック・テーブルックスの構築を可能にする。
• 正当化論理のテーブルックスに対して、部分論理式の性質を形式化し、証明内のすべての論理式が根の論理式の部分論理式であることを保証する。
• リーン型のルールに基づくテーブルックス体系と、標準的なスマリヤン型ルールにKE型命題論理ルールを組み合わせた2つの異なる定式化を導入することで、正当化論理におけるテーブルックスに基づく証明体系における空白を埋める。
• 切断の消去を用いたアナリティック性と完全性の保証により、正当化論理における自動推論の基盤を提供する。

提案手法

• 2つのテーブルックス体系を提案：第3.1節のJL-tableaux（LPのレネ型ルールを模倣）、第3.2節のJL^T-tableaux（標準的なスマリヤン型ルールとKE型命題論理ルールを組み合わせ）。
• JL^T-tableauxに対して、切断の消去を文脈的に証明し、高ランクまたは高重みの切断を、より単純な切断に変換する。
• 「弱いJL_CS部分論理式」を定義し、部分論理式の性質を形式化。これにより、テーブルックス内のすべての論理式が根の論理式の弱い部分論理式であることを保証する。
• 切断の消去を適用し、完全性を証明：論理式が妥当であれば、切断のないテーブルックス証明が存在する。
• 切断のランクと重みの測度を用い、複雑な切断を段階的により単純な形に還元することで、消去プロセスの終了を保証する。
• Mkrtychevモデルを意味論として採用し、妥当性が公理的体系における証明可能性を意味することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mkrtychevモデルに関して、正当かつ完全なアナリティック・テーブルックス体系を、正当化論理に開発できるか。
• RQ2 正当化論理のテーブルックス体系において、切断の消去が成立するか。これにより、アナリティック証明の構築が可能か。
• RQ3 正当化論理のテーブルックスに対して、部分論理式の性質を形式的に確立できるか。これにより、証明内のすべての論理式が根の論理式から導かれるか。
• RQ4 KE型テーブルックスルールを、アナリティック性と完全性を保ちつつ、正当化論理に適応できるか。
• RQ5 定数仕様が、正当化論理のテーブルックス体系における部分論理式の性質と決定可能性に与える影響は何か。

主な発見

• JL^T-tableaux体系はMkrtychevモデルに関して正当かつ完全であり、すべての妥当な論理式がテーブルックス証明を持つことを保証する。
• JL^T-tableauxに対して、切断の消去が文脈的に証明され、任意の切断ルールを用いた証明が、切断のない証明に変換可能であることが示された。
• JL^T-tableauxは部分論理式の性質を満たす：証明内のすべての論理式が、根の論理式の弱いJL_CS部分論理式である。
• 部分論理式の性質は、無限個の部分論理式を含む可能性があるため、決定可能性を保証しない。これは、空の定数仕様において、t:A, t:t:A, t:t:t:A, ... といった無限の鎖が存在することによって示された。
• 切断の消去の証明は、切断のランクと重みの組み合わせた測度に依存しており、すべての切断が、厳密に複雑さが小さい形に還元可能であることを保証する。
• 本稿では、[8]における誤りを是正し、項が反復される場合、有限の定数仕様に対してもJL_CS部分論理式の集合が常に有限ではないことを示した。