[論文レビュー] Tables, bounds and graphics of short linear codes with covering radius 3 and codimension 4 and 5

Daniele Bartoli, Alexander A. Davydov+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Coding theory and cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、q-ary線形符号の覆い半径3および余次元r=4,5に対する長さ関数ℓ_q(r,3)およびd-長さ関数ℓ_q(r,3,5)の新たな上界を、leximatrixおよび逆leximatrixアルゴリズムを用いて提示する。q ≤ 7057およびq ≤ 839の範囲で有効な形で、ℓ_q(4,3) < 2.65√[3]{q ln q}およびℓ_q(5,3) < 2.884√[3]{q² ln q}という形式のlexi-上界を確立し、従来の上界を改善するとともに、q=(q′)³に限定されない任意の体構造へと拡張する。

ABSTRACT

The length function $\ell_q(r,R)$ is the smallest length of a $q$-ary linear code of codimension (redundancy) $r$ and covering radius $R$. The $d$-length function $\ell_q(r,R,d)$ is the smallest length of a $q$-ary linear code with codimension $r$, covering radius $R$, and minimum distance $d$. By computer search in wide regions of $q$, we obtained following short codes of covering radius $R=3$: $[n,n-4,5]_q3$ quasi-perfect MDS codes, $[n,n-5,5]_q3$ quasi-perfect Almost MDS codes, and $[n,n-5,3]_q3$ codes. In computer search, we use the step-by-step leximatrix and inverse leximatrix algorithms to obtain parity check matrices of codes. The new codes imply the following new upper bounds (called lexi-bounds) on the length and $d$-length functions: $$\ell_q(4,3)\le\ell_q(4,3,5)&lt;2.8\sqrt[3]{\ln q}\cdot q^{(4-3)/3}=2.8\sqrt[3]{\ln q}\cdot\sqrt[3]{q}=2.8\sqrt[3]{q\ln q}~ ext{for}~11\le q\le7057;$$ $$\ell_q(5,3)\le\ell_q(5,3,5)&lt;3\sqrt[3]{\ln q}\cdot q^{(5-3)/3}=3\sqrt[3]{\ln q}\cdot\sqrt[3]{q^2}=3\sqrt[3]{q^2\ln q}~~ ext{ for }~37\le q\le839.$$ Moreover, we improve the lexi-bounds, applying randomized greedy algorithms, and show that $$\ell_q(4,3)\le \ell_q(4,3,5)&lt; 2.61\sqrt[3]{q\ln q}~ ext{ if }~13\le q\le4373;$$ $$\ell_q(4,3)\le \ell_q(4,3,5)&lt; 2.65\sqrt[3]{q\ln q}~ ext{ if }~4373

研究の動機と目的

• q-ary線形符号の覆い半径R=3および余次元r=4,5に対する長さ関数ℓ_q(r,3)およびd-長さ関数ℓ_q(r,3,5)のより緊密な上界を特定すること。
• 従来のq=(q′)³という特殊ケースにとどまらず、非立方体体を含む任意の体構造へと既存の上界を拡張すること。
• 短い被覆符号のパリティ検査行列を構築するために、段階的leximatrixおよび逆leximatrixアルゴリズムの開発と適用を行うこと。
• 新しい密度lexi-上界μ_q(r,3) < c_μ·ln q（r=4,5）を導出することにより、被覆密度の上界を改善すること。
• 広範なqの範囲におけるコンピュータ探索（特にランダム化グリーディ技術を含む）を通じて、上界の頑健性を検証すること。

提案手法

• leximatrixおよび逆leximatrixアルゴリズムを用いて、与えられた被覆半径および余次元に対して最小長を達成するように、再帰的にパリティ検査行列を構築する。
• これらのアルゴリズムは、再帰的g-パリティ検査行列法に基づいており、所望の性質を有する符号の段階的構築に適応されている。
• 特に大きなqに対してコード長の上界をさらに改善するために、ランダム化グリーディアルゴリズムを適用する。
• 理論的上界として、ℓ_q(r,3) < c_ℓ·√[3]{ln q}·q^{(r−3)/3}およびμ_q(r,3) < c_μ·ln qの形が導出され、c_ℓおよびc_μはqに依存しない。
• NRCカーチャトフ研究所の高性能計算リソースを用いて、広範なqの範囲を探索する計算実験を実施する。
• 結果は、過去のテーブルとの比較を通じて検証され、係数プロット（例：図14）を用いてc_q値をqに対して可視化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q=(q′)³という特殊ケースを超えて、長さ関数ℓ_q(4,3)およびℓ_q(5,3)のより緊密な上界を確立できるか？
• RQ2 leximatrixおよび逆leximatrixアルゴリズムは、被覆半径3および余次元4,5を有する短い線形符号を構築する際に、どの程度の性能を示すか？
• RQ3 新しいlexi-上界は、漸近的成長および定数因子の観点で、既存の上界と比較してどのように異なるか？
• RQ4 被覆密度μ_q(r,3)はqの構造に依存せずに上界で抑えられるか？また、μ_q(r,3) < c_μ·ln qの形で達成可能な最良の定数c_μは何か？
• RQ5 ランダム化グリーディアルゴリズムは、決定的leximatrix構成法に比べて、コード長の観点でどの程度の改善をもたらすか？

主な発見

• q ∈ [11, 7057]の範囲で、ℓ_q(4,3) ≤ ℓ_q(4,3,5) < 2.65√[3]{q ln q}という上界が確立され、以前のlexi-上界を改善する。
• q ∈ [37, 839]の範囲で、ℓ_q(5,3) ≤ ℓ_q(5,3,5) < 2.884√[3]{q² ln q}という上界が達成され、q > 401の範囲で有効である。
• 13 ≤ q ≤ 4373の範囲で、lexi-上界ℓ_q(4,3) < 2.61√[3]{q ln q}が成立し、11 ≤ q ≤ 401の範囲でℓ_q(5,3) < 2.785√[3]{q² ln q}が成立する。
• 被覆密度は、11 ≤ q ≤ 7057に対してμ_q(4,3) < 3.3·ln q、37 ≤ q ≤ 839に対してμ_q(5,3) < 4.2·ln qで抑えられる。
• 上記の上界は、q ≠ (q′)³を含む任意の体構造に対して有効であり、広範なコンピュータ探索およびアルゴリズム的検証によって裏付けられている。
• 係数プロット（図14）は、水平線のまわりで安定した振動を示しており、変動するqの範囲にわたり、導出された上界の頑健性を支持している。