[論文レビュー] Tables of convolution integrals

A. B. Arbuzov|ArXiv.org|Apr 7, 2003

Mathematical functions and polynomials参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、摂動的量子場理論、特に renormalization group 応用において生じる特異関数および非特異関数の畳み込み積分を計算する解析的手法を提示する。$Δ$-正則化とプラス規定を用いて、対数関数および多対数関数を含む畳み込みの明示的公式を導出し、結果をディログラム、トリログラム、一般化多対数関数の形で表現することで、高エネルギー物理学における正確な解析的・数値的計算を可能にする。

ABSTRACT

An analytical approach to convolution of functions, which appear in perturbative calculations, is discussed. An extended list of integrals is presented.

研究の動機と目的

• 摂動的量子場理論に頻出する畳み込み積分を直接解析的に計算するためのアプローチを開発すること。
• 極が $x=1$ もしくは $x=z$ にある特異関数を含む畳み込み積分の体系的表を提供すること。
• メリン変換手法に依存せずに、パートン進化や因子化定理などの過程における解析的・数値的計算を容易にすること。
• 発散のキャンセルが寄与項全体にわたって保証されるように、$Δ$-正則化を用いた一貫性のある枠組みを確立すること。
• 広範な適用性を持つ標準的特殊関数（多対数関数や一般化多対数関数など）の形で結果を表現すること。

提案手法

• 二関数 $f(x)$ と $g(y)$ の畳み込みは、積分 $[f \otimes g](z) = \int_z^1 \frac{dx}{x} f(x) g(z/x)$ で定義され、$0 \leq z \leq 1$ で有効である。
• 極が $x=1$ もしくは $x=z$ にある特異積分は、小さなパラメータ $\Delta \ll 1$ を用いて正則化され、$Δ$-正則化スキームでは発散積分が有限な表現に置き換えられる。
• プラス規定は、分解 $[f]_+ = \lim_{\Delta \to 0} \left[ \delta\text{-part} + \Theta\text{-part} \right]$ を通じて実装され、$\delta$-部分は $[0, 1-\Delta]$ 上の積分であり、$\Theta$-部分は $x < 1$ での関数の制限である。
• 二つの特異関数の畳み込みは、三つの項の和として表現される：$[z/(1-\Delta), 1-\Delta]$ 上の有限積分、および $f_\Delta g_\Theta(z)$ と $f_\Theta(z) g_\Delta$ を含む二つの項で、$\Delta$-依存性がキャンセルされるように設計されている。
• この手法は、対数関数および有理関数の既知の定積分に依存しており、結果は多対数関数 $\mathrm{Li}_n(z)$ および一般化多対数関数 $\mathrm{S}_{m,n}(z)$ の形で表現される。
• 結果を標準形に単純化し、数値評価を可能にするために、$z$ および $1-z$ における多対数関数の関係が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極が $x=1$ もしくは $x=z$ にある特異関数を含む畳み込み積分は、摂動的量子場理論においてどのように体系的に評価できるか？
• RQ2 メリン変換に依存せず、対数的および多対数的特異性を持つ関数の畳み込みを効果的に解析的に計算する方法は何か？
• RQ3 発散積分を正則化する方法は何か？ これにより、寄与項全体にわたって $\Delta$-依存性がキャンセルされ、有限な物理的結果が保証されるか？
• RQ4 関数 $\ln^n(1-x)/(1-x)$、$\ln^k x / (x-z)$、および $\mathrm{Li}_2(1-x)/(x-z)$ の畳み込みの明示的解析的表現は何か？
• RQ5 結果を高エネルギー物理学の計算における実用的用途を想定して、$\mathrm{Li}_n(z)$ や $\mathrm{S}_{m,n}(z)$ などの標準的特殊関数の形で表現するにはどうすればよいか？

主な発見

• 本稿では、特異関数の畳み込みの明示的解析的表現を導出し、例えば $\int_{z/(1-\Delta)}^{1-\Delta} \frac{\ln^n(1-x)}{1-x} dx = \frac{1}{n+1} \left[ \ln^{n+1}(1-z) - \ln^{n+1}\Delta \right]$ が得られる。
• 発散核 $1/(x-z)$ の正則化積分は、$\int \frac{dx}{x-z} = -\ln\Delta + \ln(1-z) - \ln z$ を与える。
• $\ln x / (x-z)$ の畳み込みは、$-\ln\Delta \ln z + \mathrm{Li}_2(1-z) + \ln(1-z)\ln z - \frac{1}{2}\ln^2 z$ となる。
• 高次の対数的カーネル、例えば $\ln^2 x / (x-z)$ は、$\mathrm{S}_{1,2}(1-z)$、$\mathrm{Li}_2(1-z)\ln z$、および $\ln^3 z$ 項を含む結果を生じる。
• $\mathrm{Li}_2(1-x)/(x-z)$ の畳み込みは、$\mathrm{Li}_2(1-z)(\ln(1-z) - \ln z - \ln\Delta) - \mathrm{S}_{1,2}(1-z) - \mathrm{Li}_3(1-z)$ として表現される。
• 本稿では、$z$ および $1-z$ における多対数関数の間の完全な関係式を提供し、物理的計算へのさらなる利用を可能にする標準形への変換を可能にする。