[論文レビュー] Tables of quasi-alternating knots with at most 12 crossings

Slavik Jablan|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ケイコボンホモロジー、奇数ケイコボンホモロジー、ヘーガード＝フローリングホモロジーを障害として用い、8から12交差の準代数的リンクの包括的な表を提示する。グリーンの手法により、11n₅₀が最初に非準代数的であることが証明されたホモロジカルに薄いリンクであることが判明し、さらなる解析を要する追加の候補も提示されており、既知の障害を超えて準代数的リンクの分類が顕著に進展した。

ABSTRACT

We are giving tables of quasi-alternating knots with $8\le n \le 12$ crossings. As the obstructions for a knot to be quasialternating we used homology thickness with regards to Khovanov homology, odd homology, and Heegaard-Floer homology $\widehat{HFK}$. Except knots which are homology thick, so cannot be quasialternating, by using the results of our computations [JaSa1], for one of knots which are homology thin, knot $11n_{50}$, J. Greene proved that it is not quasi-alternating, so this is the first example of homologically thin knot which is not quasi-alternating [Gr]. In this paper we provide a few more candidates for homology thin knots for which the method used by J. Greene cannot be used to prove that they are not quasialternating. All computations were performed by A. Shumakovitch's program \emph{KhoHo}, the program \emph{Knotscape}, the package \emph{Knot Atlas} by Dror Bar-Natan, and our program \emph{LinKnot}.

研究の動機と目的

• 8から12交差の準代数的リンクの完全なリストを編纂し、既存の文献における空白を埋める。
• ホモロジカルに薄いが準代数的でないリンクを特定し、すべてのホモロジカルに薄いリンクが準代数的であるという予想に挑戦する。
• 計算的証拠と、特定のホモロジカルに薄いリンクが準代数的でないことを今後理論的証明で示すための候補を提供する。
• 複数の最小図式を持つリンクの存在を調査し、そのうちの1つだけが準代数的である場合を想定し、準代数的リンクの同定における図式依存性を強調する。

提案手法

• A. ShumakovitchのKhoHoプログラムを用いて、ケイコボンホモロジー（Kh）、奇数ケイコボンホモロジー（Kh′）、ヘーガード＝フローリングホモロジー（HF̂K）を計算する。
• KnotscapeプログラムとLinKnot Mathematicaパッケージを用いて、12交差までの非代数的リンクのすべてのフリッピーエクイバレントな最小図式を生成・分析する。
• ドナルドソンの定理Aに基づくグリーンの障害を適用し、11n₅₀がホモロジカルに薄いにもかかわらず準代数的でないことを証明する。
• 準代数的リンクの再帰的定義を用いる：交差cが準代数的であるとは、両方のスムージングL₀とL∞が準代数的であり、かつdet(L) = det(L₀) + det(L∞)を満たすことである。
• コンウェイ表記を用いてリンクとリンクを表現し、異なる図式間での体系的かつ比較可能な列挙を可能にする。
• ホモロジカル厚さでフィルタリングする：ホモロジカルに厚いリンクは準代数的でないことが除外され、ホモロジカルに薄いリンクはさらに分析対象となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 12交差までのホモロジカルに薄いリンクの中で、ホモロジカルに薄さの条件を満たしているにもかかわらず準代数的でないものはどれか？
• RQ2 グリーンの障害法は、11n₅₀を超えて、追加のホモロジカルに薄いリンクが非準代数的であることを証明するために拡張可能か？
• RQ3 複数の最小図式を持つリンクが存在し、そのうちの1つだけが準代数的である場合があるか？ これは準代数的リンクの同定における図式依存性に何を示唆するか？
• RQ4 8から12交差の準代数的リンクの完全な集合は何か？ また、ホモロジカル厚さと図式タイプに応じて、それらはどのように分布しているか？

主な発見

• 11n₅₀ = -2 2,2 2,3 は、ドナルドソンの定理Aを用いてJ.グリーンによって非準代数的であることが証明された、初めて知られるホモロジカルに薄いが非準代数的であるリンクである。
• リンクL11n₉₀も同様の方法によりホモロジカルに薄いにもかかわらず非準代数的であることが示された。
• 12交差までの非代数的リンクの中で、663個がホモロジカルに薄く、本稿ではホモロジカル厚さやスムージング障害によって除外されない候補が特定された。
• 4つのリンク—9₄₆、10₁₄₀、11n₁₃₉、および11n₁₀₇—は、ケイコボンホモロジーとヘーガード＝フローリングホモロジーではホモロジカルに薄いが、奇数ケイコボンホモロジーの厚さにより非準代数的であることが確認された。
• 本稿では12交差の準代数的リンクの完全なリストを提供しており、その中には少なくとも2つの最小図式を持つ81のリンクが含まれており、そのうちのいくつかは1つの図式では準代数的だが、別の図式ではそうではない。
• 本研究では126個のリンク（例：K12n734からK12n887）を、ホモロジカルに薄いが非準代数的である可能性のある候補として特定し、明確な分類には新たな理論的ツールが必要である。