[論文レビュー] Tables of the Appell Hypergeometric Functions $F_2$

Jonathan Murley, Nasser Saad|ArXiv.org|Sep 30, 2008

Mathematical functions and polynomials参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、二重積分表現から導かれる単一積分表現を用いて、Appellの超幾何関数 $F_2$ の新しい還元および変換公式の包括的表を作成する。${}_2F_1$ および ${}_3F_2$ の既知の還元公式を適用することで、さまざまなパラメータ条件の下で $F_2(\sigma;\alpha_1,1;\beta_1,2;x,y)$ の明示的閉形式表現を導出し、既存の表を著しく拡張するとともに、古典的参考文献における誤りを是正する。

ABSTRACT

The generalized hypergeometric function $_qF_p$ is a power series in which the ratio of successive terms is a rational function of the summation index. The Gaussian hypergeometric functions $_2F_1$ and $_3F_2$ are most common special cases of the generalized hypergeometric function $_qF_p$. The Appell hypergeometric functions $F_q$, $q=1,2,3,4$ are product of two hypergeometric functions $_2F_1$ that appear in many areas of mathematical physics. Here, we are interested in the Appell hypergeometric function $F_2$ which is known to have a double integral representation. As demonstrated by Opps, Saad, and Srivastava (J. Math. Anal. Appl. 302 (2005) 180-195), the double integral representation of $F_2$ can be reduced to a single integral that can be easily evaluated for certain values of the parameters in terms of $_2F_1$ and $_3F_2$. Using many of the reduction formulas of $_2F_1$ and $_3F_2$ and the representation of $F_2$ in terms of a single integral, we have begun to tabulate new reduction formulas for $F_2$.

研究の動機と目的

• Appellの超幾何関数 $F_2$ の新しい還元公式を体系的に導出し、表形式でまとめること。
• Prudnikov らの古典的独著において報告された ${}_2F_1$ および ${}_3F_2$ の印刷ミスを是正すること。
• $F_2$ の適用範囲を拡張するために、パラメータに特化した還元を用いて、より単純な超幾何関数で表すこと。
• 積分表現および変換恒等式を用いて、$F_2(\sigma;\alpha_1,1;\beta_1,2;x,y)$ のさまざまなパラメータ集合に対する明示的閉形式評価を提供すること。

提案手法

• ${}_2F_1$ のEuler積分公式を用いて、$F_2$ の二重積分表現から導かれる単一積分表現を活用する。
• 既知の ${}_2F_1$ および ${}_3F_2$ の還元公式を適用し、得られた積分を初等関数または特殊関数の表現に簡略化する。
• 計算の根幹として、$F_2(\sigma;\alpha_1,1;\beta_1,2;x,y) = \frac{\Gamma(\beta_1)}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\beta_1 - \alpha_1)} \int_0^1 \frac{u^{\alpha_1 - 1}(1-u)^{\beta_1 - \alpha_1 - 1}}{(1 - xu)^\sigma} {}_2F_1\left(\sigma, \alpha_2; \beta_2; \frac{y}{1 - xu}\right) du$ の表現を用いる。
• 既知の変換および特殊関数の恒等式を用いて、$\sigma, \alpha_1, \beta_1$ の特定値について積分を体系的に評価する。
• 既知の恒等式と照合し、特にPrudnikov らの出典における誤りを是正する。
• 結果を表形式（表 I–II）で提示し、$\alpha_2 = 1$, $\beta_2 = 2$, およびさまざまな $\sigma, \alpha_1, \beta_1$ を対象とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定のパラメータ値に対して、Appellの $F_2$ 関数はどのようにより単純な超幾何関数に還元できるか？
• RQ2 パラメータが有理数または半整数値をとる場合、${}_2F_1$ および ${}_3F_2$ 恒等式の正しい形は何か？
• RQ3 Prudnikov らの出典に含まれる既知の公式のうち、タイプミスを含むものは何か、そしてどのように是正できるか？
• RQ4 二重積分表現を用いた $F_2$ を、広範なパラメータクラスに対して明示的に評価可能な単一積分に還元することは可能か？
• RQ5 積分および変換技術を用いて、$F_2(\sigma;\alpha_1,1;\beta_1,2;x,y)$ の閉形式表現をどのように導出できるか？

主な発見

• ${}_2F_1(5/2, 4; 1; z)$ の印刷ミスを是正し、正しい式 $\frac{1}{16}(16 + 72z + 18z^2 - z^3)(1 - z)^{-11/2}$ を提供する。
• ${}_2F_1(4/5, 1; 14/5; z)$ に対して、置換 $x = z^{1/5}$ を用いた対数関数および逆正 tangent 関数を含む修正式を導出する。
• ${}_2F_1(5/6, 1; 17/5; z)$ に対して、置換 $x = z^{1/6}$ を用いた対数関数および逆正 tangent 関数を含む公式を提供する。
• $\sigma = n+1$, $n+1/2$, $1-n$, $2$, $b+1$, および $b+1$（$\alpha_1 = b$, $\alpha_2 = 1$, $\beta_1 = c$, $\beta_2 = 2$）の場合に、$F_2(\sigma;\alpha_1,1;\beta_1,2;x,y)$ を初等関数および特殊関数の形で明示的に評価する。
• $\sigma = 1 - n$, $n \neq 0$ の場合に、$F_2(\sigma;\alpha_1,1;\beta_1,2;x,y)$ の一般式を導出し、有限和および超幾何関数の微分を含む。
• $F_2(b+1; b, 1; c, 2; x, y)$ に対して、Pochhammer記号および $(1-y)^{-(b+k)} - 1$ の累乗を含む $k$ に関する和としての新しい公式を提示し、同等の微分作用素形式も得る。