[論文レビュー] Tabulation of Noncrossing Acyclic Digraphs

Marco Kuhlmann|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、n 頂点をもつ非交差有向無閉路グラフ（NCAD）を列挙する動的計画法による表記手法を提示する。7 種類の分類と代数的演算（連結と被覆）を用いて、グラフを体系的に構築する。この手法により、O(n³) 時間および O(n²) 空間計算量で、整合的かつ完全な推論系を用いて効率的な数え上げが可能となり、NCAD の個数を表す OEIS シーケンス A246756: 1, 3, 25, 335, 5521, ... が得られる。

ABSTRACT

I present an algorithm that, given a number $n \geq 1$, computes a compact representation of the set of all noncrossing acyclic digraphs with $n$ nodes. This compact representation can be used as the basis for a wide range of dynamic programming algorithms on these graphs. As an illustration, along with this note I am releasing the implementation of an algorithm for counting the number of noncrossing acyclic digraphs of a given size. The same tabulation can be modified to count other classes of combinatorial structures, including weakly connected noncrossing acyclic digraphs, general noncrossing digraphs, noncrossing undirected graphs.

研究の動機と目的

• n 頂点をもつすべての非交差有向無閉路グラフ（NCAD）を体系的に列挙するための手法を開発すること。
• 動的計画法アルゴリズムに利用可能な、コンactな再利用可能な NCAD の表現を提供すること。
• 整合的かつ完全な推論規則を備えた形式的推論系を用いて、NCAD の正確な数え上げを可能にすること。
• 表記手法を拡張し、弱連結 NCAD、非制限非交差有向グラフ、非交差無向グラフなどの関連クラスを導出すること。

提案手法

• 接続性および辺カバー状態に基づき、NCAD を 7 つの互いに素なタイプに分類する：minmax被覆型、maxmin被覆型、minmax接続型、maxmin接続型、ミックス接続型、基本型（2 頂点）、非基本非接続型。
• 3 つのコア演算を定義する：グラフの連結、最初および最後の頂点間に有向辺を追加して被覆する操作、および逆方向推論による分解。
• 26 個の推論規則を用いた推論系を構築し、より小さい構成要素から有効な NCAD を導出する。各アイテムは可能なグラフ構築法を表す。
• 動的計画法を用いて、1 ≤ i ≤ j ≤ n を満たすすべての区間 [i,j] について、すべての可能なアイテム（グラフタイプ）を表記する。
• 各規則が定義された演算のもとで、サイクル性および非交差性の性質を保持することを確認することで、整合性を保証する。
• 導出が完全かつ一意であることを確立し、グラフそのものではなく導出回数を数えることで、正確な数え上げが可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非交差有向無閉路グラフを効率的な列挙を支援する体系的な分類にどのように分類できるか？
• RQ2 非交差性および無閉路性の性質を保ちながら、より大きな NCAD をより小さいものから構築するための代数的演算は何か？
• RQ3 すべてのサイズ n の NCAD を生成するための整合的かつ完全な推論系を設計できるか？
• RQ4 すべての NCAD を表記する際の計算量は何か？実用的用途に最適化可能か？
• RQ5 表記フレームワークを、弱連結または無向非交差グラフなどの関連グラフクラスの数え上げにどのように応用できるか？

主な発見

• 表記手法は O(n³) 時間および O(n²) 空間で実行され、実用的な列挙に適している。
• サイズ n の非交差有向無閉路グラフの個数は、OEIS シーケンス A246756: 1, 3, 25, 335, 5521, 101551, 1998753, ... （n ≥ 1）で与えられる。
• 推論系は整合的である：すべての導出されたグラフは有効な非交差有向無閉路グラフである。
• 推論系は完全である：すべての非交差有向無閉路グラフは規則を用いて導出可能である。
• 各 NCAD には一意の導出が存在するため、導出回数を数えることで正確な数え上げが可能である。
• このフレームワークは、弱連結 NCAD（OEIS A246757）、非制限非交差有向グラフ（OEIS A246758）、非交差無向グラフ（OEIS A054726 および A007297）の表記にも応用可能である。