[論文レビュー] Tackling critical slowing down using global correction steps with equivariant flows: the case of the Schwinger model

Jacob Finkenrath|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2022

Computational Physics and Python Applications被引用数 12

ひとこと要約

本論文は、局所ゲージ場の更新に等変性フローに基づく生成的モデルを組み合わせ、階層的フェルミオン行列式ブロッキングとグローバル補正ステップを用いる新規アルゴリズムflowGCを導入する。これにより、格子ゲージ理論における臨界遅れの緩和が達成される。$N_f=2$ ワイエルシュトロームフェルミオンを用いた2次元シュヴィンガー模型に適用したところ、$\beta=8.45$ まででほぼ100％の受容率を達成し、臨界遅れが生じない。また、$128\times128$ の大きな格子体積でもトポロジカルトンネルレートが保持される。この手法は、ブロック間距離に応じてフラクチュエーションを指数関数的に抑制し、連続極限領域における効率的なサンプリングを可能にする。

ABSTRACT

We propose a new method for simulating lattice gauge theories in the presence of fermions. The method combines flow-based generative models for local gauge field updates and hierarchical updates of the factorized fermion determinant. The flow-based generative models are restricted to proposing updates to gauge-fields within subdomains, thus keeping training times moderate while increasing the global volume. We apply our method performs to the 2-dimensional (2D) Schwinger model with $N_f=2$ Wilson Dirac fermions and show that no critical slowing down is observed in the sampling of topological sectors up to $\beta=8.45$. Furthermore, we show that fluctuations can be suppressed exponentially with the distance between active subdomains, allowing us to achieve acceptance rates of up to $99\%$ for the outer-most accept/reject step on lattices volumes of up to $V=128 imes128$.

研究の動機と目的

• ダイナミカルフェルミオンを伴う格子ゲージ理論における臨界遅れを解消すること。特に、トポロジカルフリーズが生じる細かい格子間隔ではHMCが失敗するため、その問題を解決すること。
• 大規模体積でも高い受容率と効率的なトポロジカルサンプリングを維持できるスケーラブルなシミュレーション手法を開発すること。
• フローに基づく生成的モデルと階層的フェルミオン行列式更新、グローバル補正ステップを組み合わせ、大規模シミュレーションを可能にすること。
• グローバル補正ステップにおけるフラクチュエーションがブロック間隔に応じて指数関数的に減少することを示し、高い受容率を実現できることを示すこと。
• 2次元シュヴィンガー模型に$N_f=2$ ワイエルシュトロームフェルミオンを適用し、HMCに比べて$\beta$ が高くなると優れた性能を示すことを実証すること。

提案手法

• 本手法は、格子の部分領域内で局所的なゲージ場更新を提案するための等変性フローに基づく生成的モデルを用い、トレーニングコストを低減し、スケーラビリティを向上させる。
• フェルミオン行列式の要因分解を可能にするために階層的ブロッキングを適用し、複数レベルでのフェルミオン行列式の計算を効率的に行う。
• 局所的フローアップデートの後にグローバル補正ステップを適用し、残存誤差を補正し詳細平衡を保証するためにメトロポリス受容/拒否機構を用いる。
• フロー・モデルは局所的サブドメイン上でトレーニングされ、グローバル補正ステップにより全配置がターゲットボルツマン分布を満たすように保証される。
• グローバル補正ステップの受容率は、活性ブロック間の距離$d$ に指数関数的に依存しており、$\sigma^2 \propto \exp(-2d \cdot m_{PS})$ と表される。
• アルゴリズムは5段階のflowGCスキームとして実装され、$l=8$ 個のフローオファーとブロックサイズ$L_b=16$ を用い、$128\times128$ 格子までのシミュレーションが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ダイナミカルフェルミオンを伴う格子ゲージ理論において、フローに基づく生成的モデルは大規模格子体積にスケーリング可能か？
• RQ2 局所的フロー更新とグローバル補正ステップを組み合わせることで、細かい格子間隔におけるシュヴィンガー模型の臨界遅れが解消されるか？
• RQ3 グローバル補正ステップの分散は、活性サブドメイン間の距離にどのように依存するか？
• RQ4 HMCが失敗する$\beta=8.45$ においても、本手法は高い受容率と効率的なトポロジカルサンプリングを維持できるか？
• RQ5 提案されたアルゴリズムにおけるトポロジカルトンネルレートの格子体積および逆結合定数に対するスケーリング挙動はいかなるものか？

主な発見

• 5段階のflowGCアルゴリズムは、$128\times128$ 格子上で$\beta=8.45$ までトポロジカルサンプリングに臨界遅れを示さず、HMCが実質的に凍結する状況でも有効である。
• グローバル補正ステップの受容率は$128\times128$ 格子で最大99％に達し、ブロック間隔が離れるに従いフラクチュエーションが指数関数的に減少する。
• flowGCではトポロジカルチャージのトンネルレートが$\beta$ の値にかかわらず一定である一方、HMCのレートは$\beta=6.0$ を超えると急激に低下する。
• $\beta=8.45$ において、flowGCはHMCよりも2桁以上も高いトンネルレートを達成しており、HMCで90％の受容率にチューニングされているにもかかわらず同様の性能を発揮する。
• グローバル補正ステップの分散は$\sigma^2 \propto V/(m_{PS}\beta^{3/2}) \cdot \exp(-2d \cdot m_{PS})$ とスケーリングされ、望ましい精度を得るためにブロックサイズを調整可能である。
• 本手法は$128\times128$ の格子体積まで高い性能を維持し、連続極限領域におけるスケーラビリティとロバストネスを示している。