[論文レビュー] Tackling the Minimal Superpermutation Problem

Robin Houston|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2014

Genome Rearrangement Algorithms参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、n 個の記号に対する最小のスーパー順列の長さが ∑ᵢ₌₁ⁿ i! であるという長年の予想を、6 個の記号に対する長さ 872 のスーパー順列の構築によって反証した。これは予想された 873 よりも 1 少ない。非対称 TSP への還元と LKH を用いたヒューリスティック最適化により、著者たちは問題をハミルトン経路探索として定式化し、n ≥ 6 の場合により短いスーパー順列が存在することを示した。

ABSTRACT

A superpermutation on $n$ symbols is a string that contains each of the $n!$ permutations of the $n$ symbols as a contiguous substring. The shortest superpermutation on $n$ symbols was conjectured to have length $\sum_{i=1}^n i!$. The conjecture had been verified for $n \leq 5$. We disprove it by exhibiting an explicit counterexample for $n=6$. This counterexample was found by encoding the problem as an instance of the (asymmetric) Traveling Salesman Problem, and searching for a solution using a powerful heuristic solver.

研究の動機と目的

• n 個の記号に対するスーパー順列の最小長を調査すること、特に、長年の予想である長さが ∑ᵢ₌₁ⁿ i! であるという仮説を検証すること。
• n ≥ 6 の場合に、より短いスーパー順列が存在するかどうかを特定し、既存の予想に挑戦すること。
• 組合せ最適化を用いた計算的手法を構築・適用し、最小スーパー順列を発見すること。
• TSP ソルバを用いて置換理論における複雑な組合せ問題を解くことの妥当性を示すこと。

提案手法

• 問題は、各記号の順列を頂点とし、辺の重みが順列間の重複長を表す非対称巡回セールスマン問題（ATSP）としてエンコードされる。
• 辺の重みは、出発順列の最後の k 個の記号が到着順列の最初の k 個の記号と一致する最小の k として定義される。
• この ATSP インスタンスにおける最小重みのハミルトン経路は、長さ n + 経路の重みに等しい最小スーパー順列に対応する。
• Concorde を用いて n=5 に対して正確な解を得るために、Jonker-Volgenant アルゴリズムを用いて ATSP インスタンスを対称 TSP に変換する。
• n=6 の場合、LKH ヒューリスティックソルバを非対称インスタンスに直接適用し、低重みのハミルトン閉路を探索し、長さ 872 のスーパー順列を生成する。
• 生成されたスーパー順列は、各部分順列に分割し完全性を検証するカスタムスクリプトを用いて検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n 個の記号に対するスーパー順列の予想される最小長 ∑ᵢ₌₁ⁿ i! が、すべての n に対して実際に最適であるか？
• RQ2 TSP ソルバのような計算手法を用いて、再帰的パランドローム構成によって得られるものよりも短いスーパー順列を効果的に発見できるか？
• RQ3 n=6 の場合の最小スーパー順列長は何か？ また、予想される値 873 よりも小さいか？
• RQ4 LKH などのヒューリスティック TSP ソルバは、このようなタイプの大規模な組合せ問題に対して、証明可能な最小解または近似最小解を発見できるか？

主な発見

• 著者たちは、n=6 に対して長さ 872 のスーパー順列を構築した。これは予想された最小値 873 よりも厳密に短い。
• この反例により、n 個の記号に対するスーパー順列の最小長が ∑ᵢ₌₁ⁿ i! であるという長年の予想が否定された。
• LKH ソルバは、2010 年式 MacBook Pro で 1 回あたり 2～4 秒の計算時間を要する 9,228 回の実行の後、最初に有効な長さ 872 のスーパー順列を発見した。
• 解は、スーパー順列問題を非対称 TSP としてエンコードし、ハミルトン経路の重み 866 を持つヒューリスティックソルバを用いて得られた。
• この結果により、n > 6 の場合、n=6 の解を再帰的に用いて、さらに短いスーパー順列を構築できることが示唆された。
• 著者たちは、n=5 のケースが Concorde を用いて正確に検証されており、対称 TSP インスタンスが 1,929.02 秒で解かれたことを確認した。