[論文レビュー] Tagged particle in single-file diffusion

P. L. Krapivsky, Kirone Mallick+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、マクロなフラクチュエーション理論（MFT）を用いて、単一ファイル拡散におけるトレース粒子の変位の完全な統計的分布を調査する。可逆的でないブラウン運動粒子のための大偏差関数を導出し、正確な微視的ダイナミクスによる検証を実施するとともに、輸送係数を用いた一般単一ファイル系における分散および4次積率の摂動的公式も提供する。

ABSTRACT

Single-file diffusion is a one-dimensional interacting infinite-particle system in which the order of particles never changes. An intriguing feature of single-file diffusion is that the mean-square displacement of a tagged particle exhibits an anomalously slow sub-diffusive growth. We study the full statistics of the displacement using a macroscopic fluctuation theory. For the simplest single-file system of impenetrable Brownian particles we compute the large deviation function and provide an independent verification using an exact solution based on the microscopic dynamics. For an arbitrary single-file system, we apply perturbation techniques and derive an explicit formula for the variance in terms of the transport coefficients. The same method also allows us to compute the fourth cumulant of the tagged particle displacement for the symmetric exclusion process.

研究の動機と目的

• トレース粒子変位の完全な確率分布を、平均二乗変位を越えて理解すること。
• マクロなフラクチュエーション理論を用いて、侵入不能なブラウン運動粒子からなる単一ファイル系の最も単純なモデルにおける変位の大偏差関数を導出すること。
• 微視的ダイナミクスに基づく正確解を用いて、大偏差関数の独立的検証を提供すること。
• 一般単一ファイル系における摂動的フレームワークを構築し、輸送係数を用いて分散および高次積率を計算すること。
• 同じ手法を用いて、対称的排除過程における変位の4次積率を明示的に計算すること。

提案手法

• 単一ファイル系における水圧的フラクチュエーションをモデル化するために、マクロなフラクチュエーション理論（MFT）を適用する。
• 大偏差原理を用いて、トレース粒子変位の確率を $ P(X_T / \sqrt{4T} = x ) \asymp e^{-\sqrt{4T} \phi(x)} $ の形で表現する。ここで $ \phi(x) $ は大偏差関数である。
• MFT作用関数を解くことにより、侵入不能なブラウン運動粒子のための大偏差関数を導出し、微視的ダイナミクスに基づく正確解による検証を実施する。
• 相互作用強度における摂動展開を用いて、輸送係数を計算し、それらと変位の積率との関係を導出する。
• 累積量生成関数 $ \mu_T(\lambda) = \log \langle e^{\lambda X_T} \rangle $ を用いて、Legendre変換により積率と大偏差関数を関連付ける。
• 正確解における多粒子経路積分を評価するために、置換および誤差関数を含む組合せ的恒等式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 侵入不能なブラウン運動粒子系におけるトレース粒子変位の完全な大偏差関数は何か？
• RQ2 一般単一ファイル系におけるトレース粒子変位の分散はどのようにスケーリングするか。また、輸送係数を用いて表現可能か？
• RQ3 対称的排除過程におけるトレース粒子変位の4次積率は何か？
• RQ4 MFTを用いて導出した大偏差関数は、正確な微視的解を用いて独立的に検証可能か？
• RQ5 初期条件は、分散の $ \sqrt{T} $ スケーリングにおける前因子にどのように影響するか？

主な発見

• 侵入不能なブラウン運動粒子のための大偏差関数 $ \phi(x) $ は、マクロなフラクチュエーション理論を用いて導出され、微視的ダイナミクスに基づく正確解によって確認された。
• 一般単一ファイル系において、トレース粒子変位の分散は $ \sqrt{T} $ に比例し、摂動的展開により輸送係数を用いて前因子を表現可能である。
• 同じ摂動的フレームワークを用いて、対称的排除過程における変位の4次積率を明示的に計算した。
• 分散の完全統計、高次積率を含め、すべて $ \sqrt{T} $ スケーリングに従い、これは準拡散的挙動と整合的である。
• 大偏差関数 $ \phi(x) $ は、累積量生成関数との間でLegendre変換により関連づけられ、完全な統計的推論が可能になる。
• 置換および誤差関数を含む組合せ的恒等式を用いて、正確解を厳密に評価し、MFTの結果を確認した。