[論文レビュー] Tail Asymptotic of Sum and Product of Random Variables with Applications in the Theory of Extremes of Conditionally Gaussian Processes

Andrey Sarantsev|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、極値尾部挙動（例えば、べき乗則や指数的尾部）が既知の2つの独立した確率変数の和および積の尾部漸近挙動を、漸近積分のラプラス法を用いて導出する。これらの結果を、条件付きガウス過程の極値的エクストリーム確率に適用し、定数のドリフトを確率的変数に置き換えることで、尾部挙動が定量的に変化することを示す。

ABSTRACT

We consider two independent random variables with the given tail asymptotic (e.g. power or exponential). We find tail asymptotic for their sum and product. This is done by some cumbersome but purely technical computations and requires the use of the Laplace method for asymptotic of integrals. We also recall the results for asymptotic of a self-similar locally stationary centered Gaussian process plus a deterministic drift; and we find the asymptotic for the same probability after multiplying the drift by a random variable, which is independent of this process. Keywords: tail asymptotic, Laplace method, self-similar processes, Gaussian processes, locally stationary processes.

研究の動機と目的

• 指定された重尾またはワイブル型尾部を持つ2つの独立した確率変数の和および積の尾部漸近挙動を特定すること。
• 自己相似的かつ局所定常なガウス過程の上限汎関数に確率的ドリフトを組み込むことで、古典的極値理論を拡張すること。
• 定数ドリフト項を確率的変数に置き換えることで、条件付きガウス過程の上限の尾部確率に与える影響を分析すること。
• 積分漸近法とラプラス法を用いて、$ u \to \infty $ のときのこのような過程の生存確率に対する厳密な漸近近似を確立すること。
• 時間変動または確率的ドリフトを有する非定常ガウス過程における極端事象のモデリングの理論的基盤を提供すること。

提案手法

• $ \lambda \to \infty $ のときの形 $ \int_a^b f(x) e^{\lambda S(x)} dx $ の積分の漸近挙動を分析するため、ラプラス法を用いる。これは尾部漸近挙動を導出する上で中心的である。
• 部分積分およびステルジウス積分表現を適用して、生存確率 $ \mathbf{P}(X+Y > u) $ を取り扱いやすい成分に分解する。
• 一様漸近同値性（補題11を用いて）を用い、期待値計算における複雑な生存関数を、より単純で漸近的に同値な表現に置き換える。
• 翻訳不変性を用いて、一般の場合 $ \operatorname{ess}\sup Y = \sigma \in \mathbb{R} $ を $ \sigma = 0 $ の場合に還元し、解析を単純化する。
• ウォートンの補題および変数変換を用いて、$ h_X(u - y) $ を含む積分を境界点近傍で近似する。ここで $ h_X $ は $ X $ の尾部関数である。
• 積分 $ \int_{-\delta}^0 \overline{F}_Y(y) dh_X(u - y) $ にラプラス法を適用し、$ X+Y $ の尾部における主要寄与を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ X $ がワイブル型尾部を持ち、$ Y $ がその本質的上限近辺でべき則尾部を持つ有界なサポートを持つとき、$ X+Y $ の尾部漸近挙動はどのように振る舞うか？
• RQ2 特定の尾部形を持つ2つの独立した確率変数 $ X $ と $ Y $ の積 $ XY $ の漸近挙動は何か。特に、一方が重尾、他方が有界なサポートを持つ場合に注目する。
• RQ3 定数ドリフト $ c $ を独立した確率変数 $ \eta $ に置き換えると、$ u \to \infty $ のとき、尾部確率 $ \mathbf{P}\left(\sup_{t \geq 0} (X(t) - c t^\beta) > u \right) $ にどのような影響を与えるか？
• RQ4 確率変数 $ \zeta $ が独立であるとき、$ \mathbf{P}\left(\sup_{t \geq 0} (X(t) - c t^\beta - \zeta) > u \right) $ の漸近挙動は何か？
• RQ5 ラプラス法を体系的に適用することで、確率的ドリフトを有する条件付きガウス過程の上限汎関数の鋭い漸近挙動を導出できるか？

主な発見

• 独立な $ X $ と $ Y $ に対して、$ \overline{F}_X(u) \sim C_X u^\gamma \exp(-K_X u^\alpha) $ および $ \overline{F}_Y(u) \sim C_Y (\sigma - u)^\mu $（$ u \uparrow \sigma $ のとき）であり、$ \alpha > 1 $ ならば、$ X+Y $ の尾部は $ \overline{F}_{X+Y}(u) \sim C_{X+Y} u^{\mu + \gamma - \alpha \mu} \exp(-K_X (u - \sigma)^\alpha) $ を満たし、$ C_{X+Y} = C_X C_Y (K_X \alpha)^{-\mu} \Gamma(\mu + 1) $ である。
• $ X+Y $ の尾部は、$ Y $ がその本質的上限 $ \sigma $ 近辺で寄与するものであり、$ X $ の指数的減衰と $ Y $ の上界近辺での多項式的増加の相互作用によって決定される。
• 定数ドリフト $ c $ が独立した確率変数 $ \eta $ に置き換えられるとき、上限確率の漸近挙動は $ \mathbf{P}\left(\sup_t (X(t) - \eta t^\beta) > u \right) \sim C \cdot u^{\mu + \gamma - \alpha \mu} \exp(-K_X u^\alpha) $ となり、和の場合と同一の指数構造を示す。
• 独立した確率的シフト $ \zeta $ が汎関数 $ \sup_t (X(t) - c t^\beta - \zeta) $ に存在する場合、尾部漸近挙動は $ \zeta $ の尾部に依存し、和の場合と同じ関数的形を取る。
• ラプラス法は、定数でないドリフトを有する自己相似的かつ局所定常なガウス過程の上限の生存確率の主要な漸近挙動を的確に捉えることができた。
• 補題9により示されるように、尾部関数の微小な摂動に対しても結果はロバストであり、生存関数の引数における有界なシフトに対しても尾部漸近挙動が保たれることを示している。