[論文レビュー] Tail indices for AX+B recursion with triangular matrices

Muneya Matsui, W. Świątkowski|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、三角行列を係数行列として持つ多次元確率的再帰方程式（SREs）の定常解について、初めての明確な尾指数の漸近的性質を確立し、行列構造に応じて成分ごとの尾指数が異なることを証明した。古典的Kesten理論とは異なり、非可約性を仮定せず、各成分の尾指数が同一ではない。本研究では、モーメント条件とスペクトル半径解析に基づく帰納的アプローチを用いて、各成分の明示的かつ異なる尾指数を導出する。応用としては、多次元GARCHモデルへの応用が含まれる。

ABSTRACT

Multivariate stochastic recurrence equations (SREs) are investigated when coefficients are triangular matrices. If coefficient matrices of SREs have all strictly positive elements, the Kesten's classical result yields solutions with regularly varying tails such that the tail indices of solutions are the same through coordinates. This framework is too restrictive for applications. In order to widen the applicability of the SREs, we study SREs with triangular matrix coefficients and prove that they have regularly varying solutions which may exhibit coordinate-wisely different tail exponents. We also specify the coefficients for regularly varying tails. Several applications are suggested for GARCH models.

研究の動機と目的

• 係数行列が三角行列である場合に、非可約性条件が破れ、成分間で尾挙動が非一様となるようなSREの正則変動解に関する古典的Kesten理論を拡張すること。
• 非負成分と適切なモーメント条件を満たす三角行列を係数とするSREに対して、定常解の存在を確立すること。
• 定常解の各成分について、正確な尾漸近的性質を導出し、尾指数が三角行列の構造および係数行列のモーメントに依存することを示すこと。
• 金融時系列データで観察される成分別尾挙動を捕捉できない古典的理論とは対照的に、多次元GARCH(1,1)過程に適用可能なフレームワークを提供すること。
• 行列の累乗に関するスペクトル半径とモーメント条件を用いた、新たな帰納的手法により、尾指数の依存構造を明確にすること。

提案手法

• 著者らは、各成分がより高い番号の成分にのみ依存する三角行列の構造に基づく帰納的証明戦略を用い、尾挙動の段階的解析を可能にした。
• 関数 $ h(s) = \inf_{n \in \mathbb{N}} (\mathbb{E} \| \boldsymbol{\Pi}_n \|^s)^{1/n} $ を定義し、ここで $ \boldsymbol{\Pi}_n = \mathbf{A}_1 \cdots \mathbf{A}_n $ である。この関数の振る舞いを解析することで、正則変動の臨界指数 $ \alpha $ を特定した。
• 証明は、弱めたモーメントおよび尾の仮定の下で、独立な確率変数の積の尾を上から抑える上界を与える、Breimanの補題の修正版（補題B.1）に依存している。
• 重要な技術的ステップとして、$ \rho(\mathbb{E} \mathbf{A}^\varepsilon) < 1 $ を示すことである。これはGelfandの公式と行列ノルムの同値性を用いて、定常性を保証する。
• 著者らは、$ W_i $ が $ W_{i+1}, \dots, W_d $ に依存する再帰的依存構造を導入し、$ \alpha_i, \dots, \alpha_d $ を用いて成分別尾指数 $ \widetilde{\alpha}_i $ を導出した。
• 行列の $ \ell^1 $-ノルムを用いてスペクトル半径を制御し、乗法的性質を用いて行列積の成長をバインドすることで、定常解の無限級数表現の収束を保証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約性条件が成立しない三角行列を係数とするSREに対して、古典的Kesten定理を拡張できるか。この場合、成分間で尾指数が異なる可能性がある。
• RQ2 三角行列SREの定常解の各成分 $ W_i $ について、尾指数 $ \widetilde{\alpha}_i $ の正確な形は何か。
• RQ3 成分 $ W_i $ の尾挙動は、モーメント $ \mathbb{E}[A_{ii}^{\alpha_i}] = 1 $ および上三角行列の構造にどのように依存するか。
• RQ4 三角行列SREの因果的依存構造を尊重する帰納的アプローチを用いて、尾漸近的性質を導出できるか。
• RQ5 これらの結果は、実証的に成分別尾挙動が観察される多次元GARCH(1,1)モデルにどのような意味を持つのか。

主な発見

• 係数行列が三角行列であるSREの定常解 $ \mathbf{W} $ は正則変動的であり、成分ごとの尾指数 $ \widetilde{\alpha}_i $ が成分間で異なる。
• 各成分 $ i $ について、$ \mathbb{P}(W_i > x) \sim c_i x^{-\widetilde{\alpha}_i} $ が $ x \to \infty $ のとき成り立ち、$ c_i > 0 $ かつ $ \widetilde{\alpha}_i > 0 $ である。
• 最初の成分 $ \widetilde{\alpha}_1 $ の尾指数は $ \min(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_d) $ に等しく、$ i > 1 $ の場合、$ \widetilde{\alpha}_i $ は $ \alpha_i, \dots, \alpha_d $ に依存し、システム内の再帰的依存構造を反映している。
• 本研究は、[10]で示された $ d=2 $ の場合（$ \widetilde{\alpha}_1 = \min(\alpha_1, \alpha_2) $、$ \widetilde{\alpha}_2 = \alpha_2 $）を任意次元に一般化した。
• 証明は、新たな帰納的スキームと、弱めたモーメントおよび尾の仮定の下で積の尾を上から抑える上界を与える修正版Breimanの補題に依存している。
• 本フレームワークは、三角行列構造が自然に現れる多次元GARCH(1,1)過程に適用可能であり、金融データでは成分別尾挙動が観察される。