[論文レビュー] Tait colorings, and an instanton homology for webs and foams

P. B. Kronheimer, Tomasz Mrowka|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$Θ$-次数付きインスタントンホモロジー $J^\sharp(K)$ を、$Θ$-graded な $\mathrm{SO}(3)$ ゲージ理論を用いて、$Θ$-graded な $\mathbb{R}^3$ 内の非向き付け可能三価ウェブ $K$ に対して構成する。$J^\sharp(K) \neq 0$ であることを、$K$ に埋め込まれたブリッジが存在しないことと同値に示した。主要な結果は、ゲージ理論的不変量を用いた四色定理の証明プログラムを支持するものであり、平面的ウェブにおいては $\dim J^\sharp(K)$ がタイト彩色の数に等しい可能性があるという証拠がある。

ABSTRACT

We use SO(3) gauge theory to define a functor from a category of unoriented webs and foams to the category of finite-dimensional vector spaces over the field of two elements. We prove a non-vanishing theorem for this SO(3) instanton homology of webs, using Gabai's sutured manifold theory. It is hoped that the non-vanishing theorem may support a program to provide a new proof of the four-color theorem.

研究の動機と目的

• 非向き付け可能ウェブおよびフォームのカテゴリを定義し、$\mathbb{F}_2$ 上の $\mathrm{SO}(3)$ 平坦接続を用いて、$\mathrm{SO}(3)$ ゲージ理論に基づくファンクター的インスタントンホモロジー $J^\sharp$ を定義する。
• 横断性を保証し、$d^2 = 0$ モード 2 を証明するためにホロノミー摂動を用い、ホモロジーが適切に定義されることを保証する。
• ガバイのサチュエーテッド多様体理論を用いて、$J^\sharp(K)$ の非ゼロ定理を証明する。
• コボルディズム（フォーム）に関してファンクター性を確立し、ネックカット、ビゴン、三角形、四角形関係などの関係を含む。
• $J^\sharp(K) \otimes \mathrm{Gr}$ から $I^\sharp(K)$ へのスペクトル系列を導入し、$I^\sharp$ はモース理論的解釈を持つ関連インスタントンホモロジーである。
• $\mathrm{SU}(3)$ ゲージ理論を用いた変種 $L^\sharp(K)$ を構成し、$\mathbb{Z}$ 係数で、$\mathrm{SU}(3)$ におけるウェブ $K \subset \mathbb{R}^3$ のタイト彩色の数に等しい $\dim L^\sharp(K;\mathbb{F})$ を示す。

提案手法

• 非向き付け可能ウェブおよびフォーム（ドット付き）のカテゴリを定義し、$\mathrm{SO}(3)$ 平坦接続を用いて、$\mathbb{F}_2$ 上の有限次元ベクトル空間へのファンクター $J^\sharp$ を構成する。
• 横断性を保証するためホロノミー摂動を用い、$d^2 = 0$ モード 2 を証明することで、ホモロジーが適切に定義されることを保証する。
• ガバイのサチュエーテッド多様体理論を用いて、$J^\sharp(K)$ の非ゼロ定理を証明する。
• コボルディズム（フォーム）に関してファンクター性を確立し、ネックカット、ビゴン、三角形、四角形関係などの関係を含む。
• スペクトル系列を $J^\sharp(K) \otimes \mathrm{Gr}$ から $I^\sharp(K)$ へ構成し、微分は表現多様体内の codimension-1 部分多様体との交差数によって定義される。
• $\mathrm{SU}(3)$ ゲージ理論に基づく変種 $L^\sharp(K)$ を構成し、$\mathbb{Z}$ 係数で、$\mathrm{SU}(3)$ におけるウェブ $K \subset \mathbb{R}^3$ のタイト彩色の数に等しい $\dim L^\sharp(K;\mathbb{F})$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウェブ $K \subset \mathbb{R}^3$ が埋め込みブリッジを含むとき、$\mathrm{SO}(3)$ インスタントンホモロジー $J^\sharp(K)$ はちょうどゼロになるのか？
• RQ2 平面的ウェブにおいて、$J^\sharp(K)$ の次元は $K$ のタイト彩色の数に等しいのか？
• RQ3 $J^\sharp(K)$ の非ゼロ性結果を、ゲージ理論的不変量を用いた四色定理の証明に利用できるか？
• RQ4 $\mathrm{SO}(3)$ インスタントンホモロジー $J^\sharp(K)$ と、組合せ的 $\mathfrak{sl}_3$ ホモロジーおよびタイト彩色との関係は何か？
• RQ5 $\mathrm{SU}(3)$ ゲージ理論は、整数係数で、タイト彩色の数と一致する $L^\sharp(K)$ を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• ベクトル空間 $J^\sharp(K)$ は、$K \subset \mathbb{R}^3$ に埋め込みブリッジが存在しない場合にのみ非ゼロであることが、サチュエーテッド多様体理論を用いて証明された。
• 平面的ウェブにおいては、$\dim J^\sharp(K)$ がタイト彩色の数に等しいという予想が、二部グラフのウェブおよび四角形、三角形、ビゴン、円を含まないウェブにおいて検証された。
• スペクトル系列が存在し、$E_1$-頁が $J^\sharp(K) \otimes \mathrm{Gr}$ であり、$I^\sharp(K)$ に収束する。微分の成分は、表現多様体内の codimension-1 部分多様体との交差数によって定義される。
• $\mathrm{SU}(3)$ を用いた不変量 $L^\sharp(K;\mathbb{F})$ の次元は、任意のウェブ $K \subset \mathbb{R}^3$ に対して、$\mathbb{F}_2$ 上でタイト彩色の数に等しく、有理数係数でも同様に成り立つ。
• $\mathrm{SO}(3)$ 表現多様体 $\mathcal{R}^\sharp$ は、$\mathrm{SU}(3)$ 表現多様体における複素共役の固定点集合として得られ、二つのゲージ理論的構成を結びつける。
• $J^\sharp(K)$ の非ゼロ性結果と、タイト彩色に関する予想を組み合わせることで、任意のブリッジレスな平面的三価グラフがタイト彩色を持つことが示され、四色定理の新たな証明が得られる。