[論文レビュー] Takai Duality for Crossed Products by Hilbert C*-bimodules

Beatriz Abadie|ArXiv.org|Sep 7, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト C*-バイモジュールによる交叉積に対してタカイ双対性の非可換版を確立し、バイモジュールがモラータ同値である場合、円周 $ S^1 $ とその双対作用の二重交叉積が元の C*-代数とモラータ同値であることを示している。主な構成では、二重交叉積を階数付きヒルベルトモジュール上のコンパクト作用素代数と同定し、古典的双対性をヒルベルトバイモジュール設定に一般化している。

ABSTRACT

We discuss the crossed product by the dual action of the circle on the crossed product of a C*-algebra A by a Hilbert C*-bimodule X. When X is an A-A Morita equivalence bimodule, the double crossed product is shown to be Morita equivalent to the C*-algebra A.

研究の動機と目的

• 群作用に対する古典的双対性を、ヒルベルト C*-バイモジュールによる交叉積へ拡張すること。
• バイモジュール $ X $ が $ A\!\text{-}A $ モラータ同値バイモジュールであるとき、二重交叉積 $ (A\rtimes X)\rtimes_\delta S^1 $ の構造を調査すること。
• 二重交叉積と階数付きヒルベルトモジュール $ E_X $ 上のコンパクト作用素代数との同型を確立することで、$ A $ との中でのモラータ同値性を示すこと。

提案手法

• ヒルベルトバイモジュール $ (A,X) $ の表現によって生成される普遍 C*-代数として、$ A\rtimes X $ を構成する。
• $ S^1 $ 上の双対作用 $ \delta $ を定義し、$ i_X(X) $ に $ \lambda \in S^1 $ の乗法作用が働くようにし、$ i_A(A) $ は固定される。
• 二重交叉積 $ (A\rtimes X)\rtimes_\delta S^1 $ を、階数付きヒルベルトモジュール $ E_X = \bigoplus_{n\in\mathbb{Z}} X^{\otimes n} $ 上の有界作用素の C*-代数として表現する。
• $ X $ が全モラータ同値バイモジュールであるとき、この表現が $ \mathcal{K}(E_X) $、すなわち $ E_X $ 上のコンパクト作用素代数へ全射であることを示す。
• 交叉積のファンクター性と誘導表現の存在を用いて、双対作用を $ \mathcal{K}(E_X) $ 上の $ \mathbb{Z} $ の作用、すなわちシフト自己同型へ関連付ける。
• $ \mathcal{K}(E_X) $ 上の双双対作用を、$ \sigma(L^n_a) = L^{n-1}_a $、$ \sigma(T^n_x) = T^{n-1}_x $ で与えられる自己同型 $ \sigma $ として同定し、古典的タカイ双対性の枠組みと一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト C*-バイモジュールによる交叉積に対して、特にバイモジュールがモラータ同値である場合にタカイ双対性が成り立つかどうか。
• RQ2 二重交叉積 $ (A\rtimes X)\rtimes_\delta S^1 $ が階数付きヒルベルトモジュール上の C*-代数として実現可能か。
• RQ3 二重交叉積上の双双対作用の構造は何か。また、元の代数 $ A $ とどのように関係しているか。
• RQ4 ヒルベルトバイモジュール構造から、$ A $ と $ (A\rtimes X)\rtimes_\delta S^1 $ の間のモラータ同値性はどのように生じるか。
• RQ5 二重交叉積 $ (A\rtimes X)\rtimes_\delta S^1 $ と $ \mathcal{K}(E_X) $ の間に自然な同型が存在するか。また、$ \mathcal{K}(E_X) $ 上に誘導される作用は何か。

主な発見

• バイモジュール $ X $ が $ A\!\text{-}A $ モラータ同値バイモジュールであるとき、二重交叉積 $ (A\rtimes X)\rtimes_\delta S^1 $ は、階数付きヒルベルトモジュール $ E_X = \bigoplus_{n\in\mathbb{Z}} X^{\otimes n} $ 上のコンパクト作用素代数 $ \mathcal{K}(E_X) $ と同型である。
• この同型により、双双対作用 $ \hat{\delta} $ は $ \mathcal{K}(E_X) $ 上の自己同型 $ \sigma $ として実現され、$ \sigma(L^n_a) = L^{n-1}_a $、$ \sigma(T^n_x) = T^{n-1}_x $ で定義され、古典的タカイ双対性の枠組みと一致する。
• ヒルベルトモジュール $ E_X $ は $ \mathcal{K}(E_X) $ と $ A $ 間のモラータ同値バイモジュールであるため、$ (A\rtimes X)\rtimes_\delta S^1 $ は $ A $ とモラータ同値である。
• $ E_X $ 上への $ (A\rtimes X)\rtimes_\delta S^1 $ の表現 $ \pi $ は $ \mathcal{K}(E_X) $ へ全射であり、すべてのランク1作用素 $ \theta_{\eta,\xi} $ を含むため、作用の全性が確認される。
• バイモジュール $ X $ が全であるとき、作用素 $ T^n_x $ と $ L^n_a $ はコンパクトであるため、$ \pi $ の像は $ \mathcal{K}(E_X) $ に含まれ、$ X^{\otimes n} $ の全性から全射性が従う。
• 特別な場合として $ X = A_\alpha $（自己同型 $ \alpha $ による）の場合、同型により $ \mathcal{K}(E_X) $ は $ \mathcal{K} \otimes A $ と同一視され、自己同型 $ \sigma $ は $ \mathrm{Ad}(\rho \otimes \alpha) $ となる。これにより、古典的タカイ双対性が回復される。