[論文レビュー] Tamarkin's proof of Kontsevich formality theorem

Vladimir Hinich|ArXiv.org|Mar 9, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、特性が0の体上の多項式代数に対するコンツェビッチの形式的定理のタマリンの証明について、詳細な解説を提供する。滑らかな代数のシフトされたホッホシュィルトコホモロジー複体が、コシュール型の作用素理論とホモトピー・ゲルステンハーバー代数構造の構成を通じて、dgリー代数として形式的であることを示している。

ABSTRACT

In 1998 D. Tamarkin announced a proof of Kontsevich formality theorem based on the existence of structure of homotopy Gerstenhaber algebra in the Hochschild cochains of an associative algebra. In this note we give a detailed explanation of Tamarkin's result.

研究の動機と目的

• 特性が0の体上の多項式代数に対するコンツェビッチの形式的定理のタマリンの証明を、完全かつアクセス可能な形で提示すること。
• コシュール型の作用素理論を用いて、滑らかな代数のホッホシュィルトコホモロジーにおけるゲルステンハーバー代数構造の内在的形式的性を確立すること。
• ホッホシュィルト複体上にホモトピー・ゲルステンハーバー代数構造が存在することにより、形式的性が示されることを示し、これによりコンツェビッチの定理を証明すること。
• タマリンの元々の証明における技術的ギャップを、タマリン＝ツイガンの前刷りと標準的な作用素的道具立ての知見を用いて明確化すること。

提案手法

• 作用素理論とコシュール双対性、特にコシュール作用素上の有理整数次元およびdg代数に焦点を当てる。
• コシュール作用素上の代数の内在的形式的性の概念を適用し、コホモロジーの消滅に基づく十分条件を導出する。
• 滑らかなk代数のホッホシュィルト複体のコホモロジーを計算し、それがゲルステンハーバー代数に同型であることを示す。
• ホッホシュィルト複体上にホモトピー・ゲルステンハーバー代数構造を構成し、デリーニの予想を介して形式的性を示す。
• 形式的設定におけるリー双代数とホップ代数の間のエティンフォルト＝カジダンの同型を用い、自由リー代数上のdgリー双代数構造とdgホップ代数構造を関連付ける。
• 形式的べき級数環上のk^*同変構造を用い、自由代数からのdg双代数構造をその完備化へと持ち上げ、\tilde{\cal B}と{\cal B_\infty}作用素の同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コシュール作用素上の有理整数次元代数が、どのような条件下で内在的に形式的となるか？
• RQ2 滑らかな代数のホッホシュィルト複体のコホモロジーは、ゲルステンハーバー代数構造とどのように関係するか？
• RQ3 ホモトピー・ゲルステンハーバー代数構造がホッホシュィルト複体の形式的性を証明する上で果たす役割は何か？
• RQ4 形式的べき級数環上のk^*同変構造は、リー双代数とホップ代数の間の同型関係にどのように関係するか？
• RQ5 形式的変形量子化の文脈において、作用素\widetilde{\cal B}と{\cal B_\infty}の正確な関係は何か？

主な発見

• 多項式代数のホッホシュィルト複体のコホモロジーは、ゲルステンハーバー代数に同型であり、この代数は内在的に形式的である。
• ホッホシュィルト複体上にホモトピー・ゲルステンハーバー代数構造が存在することは、そのシフトされた複体がdgリー代数として形式的であることを示唆する。
• 証明により、ホモトピー・ゲルステンハーバー代数を記述する作用素\widetilde{\cal B}は、ホモトピー双代数を記述する{\cal B_\infty}作用素と同型であることが示された。
• エティンフォルト＝カジダンの同型はk^*同変設定へと持ち上がり、\widetilde{\cal B}と{\cal B_\infty}の間の標準的同型が構成可能である。
• V[[h]]上の自由な結合代数から対応するホップ代数への標準的写像は同型であり、dg双代数構造の持ち上げが確認された。
• ホッホシュィルト複体の形式的性は、コシュール双対設定における特定のコホモロジー群の消滅によって保証される、そのコホモロジーの内在的形式的性に起因する。