[論文レビュー] Tame dynamics and robust transitivity

Christian Bonatti, Sylvain Crovisier+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$C^1$-位相においてでさえ、洗練された微分同相写像の族において、鎖的再帰的クラスにおけるロバストな推移性が一般的でないことを示している。1次元中心を持つ部分的双曲的微分同相写像の構成を用いて、$C^1$-開集合 $\mathcal{U}$ を構成し、任意の $r > 1$ に対して $C^r$-摂動においてロバストに分離された鎖的再帰的クラスが推移的でないような、洗練された系の族を示している。これは、この設定においてロバストな推移性の性質が壊れやすいことを示している。

ABSTRACT

One main task of smooth dynamical systems consists in finding a good decomposition into elementary pieces of the dynamics. This paper contributes to the study of chain-recurrence classes. It is known that $C^1$-generically, each chain-recurrence class containing a periodic orbit is equal to the homoclinic class of this orbit. Our result implies that in general this property is fragile. We build a C1-open set U of tame diffeomorphisms (their dynamics only splits into finitely many chain-recurrence classes) such that for any diffeomorphism in a C-infinity-dense subset of U, one of the chain-recurrence classes is not transitive (and has an isolated point). Moreover, these dynamics are obtained among partially hyperbolic systems with one-dimensional center. R\\'esum\\'e : Dynamique mod\\'er\\'ee et transitivit\\'e robuste. L'un des buts des syst\\`emes dynamiques consiste \\`a trouver une bonne d\\'ecomposition de la dynamique en pi\\`eces \\'el\\'ementaires. Cet article contribue \\`a l'\\'etude des classes de r\\'ecurrence par cha\\^ines. On sait que C1-g\\'en\\'eriquement, chaque classe de r\\'ecurrence par cha\\^ines contenant une orbite p\\'eriodique coincide avec la classe homocline de cette orbite. Notre r\\'esultat montre que cette propri\\'et\\'e est en g\\'en\\'erale fragile. Nous construisons un ouvert U de diff\\'eomorphismes mod\\'er\\'es (leur dynamique ne se d\\'ecompose qu'en un nombre fini de classes de r\\'ecurrence par cha\\^ines) tel que pour tout diff\\'eomorphisme appartenant \\`a un sous-ensemble C-infini-dense de U, une des classes de r\\'ecurrence par cha\\^ines n'est pas transitive (elle a un point isol\\'e). De plus, ces dynamiques sont obtenues comme syst\\`emes partiellement hyperboliques avec une direction centrale uni-dimensionnelle.

研究の動機と目的

• 洗練された微分同相写像におけるロバストに分離された鎖的再帰的クラスが、必然的にロバストに推移的であるかどうかを調査すること。
• 鎖的再帰的クラスとホモクラインクラスが一致するという性質が、小さな $C^r$-摂動に対して安定かどうかを特定すること。
• ロバストに分離されたクラスが推移的でないような、$C^1$-開集合の明示的例を構成すること。
• 1次元中心を持つ部分的双曲的系の力学が、鎖的再帰的クラスおよび推移性とどのように関係するかを分析すること。

提案手法

• 次元が 3 以上のコンパクト多様体 $M$ 上の微分同相写像の $C^1$-開集合 $\mathcal{U}$ を構成し、力学が洗練されており、1次元中心を持つ部分的双曲的であるようにする。
• 微分同相写像 $f \in \mathcal{U}$ に対して、ロバストに分離された鎖的再帰的クラス $\mathcal{C}_f$ を定義し、$C^1$-摂動に対してもクラスが存続することを保証する。
• 安定指数がそれぞれ 2 と 1 である双曲的周期点 $p$ および $q$ の近傍における局所力学を用いて、不変多様体の交点を分析する。
• $\lambda$-補題と横断性の議論を適用し、摂動の下で $W^{s}(p)$ と $W^{u}(q)$ が横断的に交わることを示す。
• codimension-one の部分多様体の議論を用いて、$\mathcal{C}_g$ が推移的でないような微分同相写像の集合が、$f$ の $C^1$-近傍において $C^r$-稠密であることを証明する。
• 非推移的部部分 $\mathcal{C}_f$ を $W^s(q) \cap W^u(p)$ として特徴づけ、これは孤立点から構成され、$p$ や $q$ のホモクラインクラスとは交差しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 洗練された微分同相写像におけるロバストに分離された鎖的再帰的クラスは、必然的にロバストに推移的であるか？
• RQ2 $C^1$-開集合に属する洗練された微分同相写像の族が、任意の $r > 1$ に対して $C^r$-摂動において推移的でないロバストに分離された鎖的再帰的クラスを含み得るか？
• RQ3 鎖的再帰的クラスとホモクラインクラスの一致という性質は、小さな $C^r$-摂動に対してどの程度安定的か？
• RQ4 1次元中心を持つ部分的双曲的系の力学は、鎖的再帰的クラスの推移性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 このような系におけるロバストに分離された鎖的再帰的クラスの非推移的部部分の構造はいかなるものか？

主な発見

• 任意のコンパクト多様体 $M$ に対して $\dim(M) \geq 3$ を満たす場合、洗練された微分同相写像の $C^1$-開集合 $\mathcal{U}$ が存在し、任意の $f \in \mathcal{U}$ に対して鎖的再帰的クラス $\mathcal{C}_f$ はロバストに分離される。
• 任意の $r > 1$ に対して、$f$ の $C^1$-近傍内において $\mathcal{C}_g$ が推移的でないような微分同相写像 $g$ の集合は $C^r$-稠密である。
• $\mathcal{C}_f$ の非推移的部部分は正確に $W^s(q) \cap W^u(p)$ であり、これは孤立点から構成され、$p$ のホモクラインクラスとは交差しない。
• $p$ のホモクラインクラスと $q$ のホモクラインクラスは一致しており、$\mathcal{C}_f$ 内の同じ安定指数を持つすべての周期点を含む。
• $\mathcal{C}_f \setminus H_f$ に属する任意の点は、$W^s(q)$ に属さなければ $p$ のホモクラインクラスに属し、$W^u(p)$ に属さなければ $q$ のホモクラインクラスに属する。
• ロバストに分離された鎖的再帰的クラスが推移的でないような微分同相写像の集合は、$C^1$-位相において codimension-one の部分多様体の可算個の和集合として表され、$r > 1$ の場合 $C^r$-稠密性を示唆する。