[論文レビュー] Tame stacks in positive characteristic

Dan Abramovich, Martin Olsson+1 more|ArXiv.org|Mar 11, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、特徴量が0でない場合におけるDeligne–Mumford スタックの強固な類似物として、正の特性における tame スタックを導入する。その特徴は、スタックの準似係数層からその粗いモジュライ空間への押し出し関手が完全であることである。主な結果として、tame スタックは局所的にエタール位相で、有限平坦で線形的再帰的（linearly reductive）な群スキームによる商表示 $[U/G]$ を持ち、正の特性の設定において強力な幾何的およびコホモロジー的性質を実現する。

ABSTRACT

We introduce and study a class of algebraic stacks with finite inertia in positive and mixed characteristic, which we call tame algebraic stacks. They include tame Deligne-Mumford stacks, and are arguably better behaved than general Deligne-Mumford stacks. We also give a complete characterization of finite flat linearly reductive schemes over an arbitrary base. Our main result is that tame algebraic stacks are étale locally quotient by actions of linearly reductive finite group schemes. In a subsequent paper we will show that tame algebraic stacks admit a good theory of stable maps.

研究の動機と目的

• 標準的な Deligne–Mumford スタックの性質が、特性に割り切れる位数の群作用によって失敗する正および混合特性における tame スタックの定義と研究を行うこと。
• スタックからその粗いモジュライ空間への準似係数層の押し出し関手が完全であるようなスタックのクラスを同定し、より良いコホモロジー的性質を保証すること。
• tame スタックが局所的にエタール位相で有限平坦で線形的再帰的群スキームによる商 $[U/G]$ に表示可能であることを示す局所構造定理を確立すること。
• 任意の基底上での有限平坦で線形的再帰的群スキームの分類を行い、理論の基盤的道具を提供すること。
• 正の特性におけるモジュライ理論に動機づけられた、ねじれ曲線および tame 目的を持つ安定写像の構成のための枠組みを提供すること。

提案手法

• スタック $\mathcal{M}$ が、その粗いモジュライ空間 $M$ に対して、関手 $\operatorname{QCoh}(\mathcal{M}) \to \operatorname{QCoh}(M)$ が完全であるとき、tame であると定義する。
• スタックが tame であることと、エタール位相で局所的に $[U/G]$ に同型であり、$G$ が有限平坦かつ線形的再帰的であるとき、同値であることを証明する。
• 有限平坦で線形的再帰的群スキームの分類を構築する：$1 \to \Delta \to G_x \to Q \to 1$ の形の拡張で、$\Delta$ は対角化可能であり、$Q$ は tame かつエタールである。
• fppf およびエタール位相の技術を用いて、gerbes と rigidification を分析し、$\mathcal{X} \mathbin{\!\!\boldsymbol{\fatslash}} G$ が代数的スタックであり、$G$-torsor 構造を持つことを証明する。
• Artin の代数化定理を用いて、商構成における Hom-層が代数的空間であることを示す。
• 畳み込みハイパ代数 $\mathbf{H}_G$ と余作用を用いて、$G$-不変層を定義し、その降下性質を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性において、スタックからその粗いモジュライ空間への準似係数層の押し出し関手が完全であるための条件は何か？
• RQ2 標準的性質が失敗するにもかかわらず、正の特性において Deligne–Mumford スタックに類似した振る舞いを示す代数的スタックをどのように特徴づけられるか？
• RQ3 正の特性におけるスキーム上での有限平坦で線形的再帰的群スキームの構造は何か？
• RQ4 tame スタックはエタール位相において局所的に $[U/G]$ として表示可能か？また、なぜこれは fppf 表示よりも強い性質か？
• RQ5 tame スタックの理論は、ねじれ安定写像および正の特性における曲線のモジュライの構成をどのように支援するか？

主な発見

• 有限対角を持つスタックは、$\operatorname{QCoh}(\mathcal{M}) \to \operatorname{QCoh}(M)$ が完全であるときかつそのときに限り tame である。
• tame スタックは、エタール位相で局所的に $[U/G]$ に同型であり、$G$ は有限平坦で線形的再帰的群スキームである。
• 有限平坦で線形的再帰的群スキームの幾何的ファイバーは、対角化可能な群を拡張し、tame かつエタールな商群をもつ。
• tame スタックにおいて、粗いモジュライ空間の形成は任意のベース変換と可換である。
• tame 性質は引き戻しに関して保存され、元のスタックが平坦であるとき、tame スタックの粗いモジュライ空間は基底上平坦である。
• rigidification 構成 $\mathcal{X} \mathbin{\!\!\boldsymbol{\fatslash}} G$ は代数的スタックを導き、商写像はファイバーが $\mathcal{B}_T G_\xi$ である fppf ゲルベである。