[論文レビュー] Tamed 3D Navier-Stokes Equation: Existence, Uniqueness and Regularity

Michael Röckner, Xicheng Zhang|ArXiv.org|Mar 9, 2007

Navier-Stokes equation solutions参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、大きな速度を抑える非線形減衰項 $ g_N(|\mathbf{u}|^2)\mathbf{u} $ を備えた、制御された 3D ナビエ＝ストークス方程式を導入する。この方程式は、滑らかな初期データおよび滑らかな外力に対して、解の全域的存 在、一意性、滑らかさを保証する。主な結果は、古典的 3D ナビエ＝ストークス方程式の有界な滑らかな解が、この制御されたバージョンを満たすことであり、制御された系は、適切な弱解の新たな構成を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence and uniqueness of a smooth solution to a tamed 3D Navier-Stokes equation in the whole space. In particular, if there exists a bounded smooth solution to the classical 3D Navier-Stokes equation, then this solution satisfies our tamed equation. Moreover, using this renormalized equation we can give a new construction for a suitable weak solution of the classical 3D Navier-Stokes equation introduced in [Scheffer: Hausdorff measure and the Navier-Stokes equations. Comm. Math. Phys., 1977] and [Caffarelli, Kohn, Nirenberg: Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations. Comm. Pure Appl. Math., 1982].

研究の動機と目的

• 古典的 3D ナビエ＝ストークス方程式に対する、長年の未解決問題である全域的存 在および正則性の問題に取り組むこと。
• 物理的直観を保ちつつ、数学的適切性を保証する 3D ナビエ＝ストークス方程式の正則化バージョンを構築すること。
• 古典的方程式に対する適切な弱解を構成するための、新たな変分的および解析的枠組みを提供すること。
• 古典的方程式の有界な滑らかな解が、制御された方程式を満たすことを確立することにより、両系を直接的に結びつけること。

提案手法

• $ r \leq N $ のとき 0 に、 $ r \geq N+1 $ のとき線形的に増加する taming 関数 $ g_N(r) $ を導入し、速度に依存する減衰項として作用させる。
• 非線形項の成長を制御するために、運動量方程式に $ -g_N(|\mathbf{u}|^2)\mathbf{u} $ を加えることで、古典的ナビエ＝ストークス方程式を変更する。
• $ \mathbb{H}^m $ 空間におけるエネルギー推定およびソボレフ空間技術を用いて、滑らかな解の局所的存 在および一意性を証明する。
• 爆発を考慮しない、 $ N $ および時間 $ T $ に多項式的に依存する $ \|\mathbf{u}\|_{\mathbb{H}^m} $ の事前推定を導出し、全域的存 在を確立する。
• コンパクトネスの議論および弱収束を用いて、 $ N \to \infty $ の極限で制御された系から解の極限を抽出し、適切な弱解を得る。
• エネルギー推定における $ \|\partial_t \mathbf{u}\|_{L^2} $ の制御を活用し、 $ \mathbb{H}^1 $ および $ \mathbb{H}^2 $ における一様な有界性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかな初期データに対して、解の全域的存 在および滑らかさを保証するような、3D ナビエ＝ストークス方程式の正則化バージョンを構築できるか？
• RQ2 速度が一様に有界である場合、制御された方程式が古典的 3D ナビエ＝ストークス方程式の有界な滑らかな解を保存するか？
• RQ3 制御された方程式を、極限過程を用いて、古典的 3D ナビエ＝ストークス方程式の適切な弱解を構成するために使用できるか？
• RQ4 ソボレフ空間 $ \mathbb{H}^m $ における制御された系の解ノルムに対する一様な事前推定は何か？また、taming パrameter $ N $ にどのように依存するか？
• RQ5 $ N \to \infty $ のとき、制御された系の解の極限は一意的であり、古典的方程式の適切な弱解に等しいか？

主な発見

• $ \nu = 1 $ であり、滑らかな初期データ $ \mathbf{u}_0 \in \mathbb{H}^\infty $ および滑らかな外力 $ \mathbf{f} $ の場合、制御された方程式は、 $ \mathbf{u}_N \in C^\infty([0,T]; \mathbb{H}^\infty) $ なる一意的な全域的滑らかな解を有する。
• 解は事前推定 $ \sup_{t \in [0,T]} \|\mathbf{u}(t)\|_{\mathbb{H}^2} \leq C(1+N^2)(T+1)(\|\mathbf{u}_0\|_{\mathbb{H}^1}^2 + \|\mathbf{u}_0\|_{\mathbb{H}^1}^4 + \int_0^T \|\mathbf{f}(s)\|_{\mathbb{H}^0}^2 ds) + C(\|\mathbf{u}_0\|_{\mathbb{H}^2}^6 + \|\mathbf{f}(0)\|_{\mathbb{H}^0}^2 + \int_0^T \|\partial_s \mathbf{f}(s)\|_{\mathbb{H}^0}^2 ds) $ を満たし、これは $ N $ に対して多項式的依存を示す。
• 古典的 3D ナビエ＝ストークス方程式に有界な滑らかな解が存在する場合（ $ \|\mathbf{u}\|_{L^\infty} \leq \sqrt{N} $ ）、その解は制御された方程式を満たす。
• $ N \to \infty $ のとき、解 $ \mathbf{u}_N $ は $ L^2_{\text{loc}}([0,T) \times \mathbb{R}^3) $ で強く収束し、古典的方程式の適切な弱解に収束する。
• 制御された系は、古典的 Leray-Hopf フレームワークに依存しない、適切な弱解の新たな変分的構成を提供する。
• 制御機構により、 $ \|\partial_t \mathbf{u}\|_{L^2} $ が時間および $ N $ に関して一様に有界であることが保証され、極限におけるコンパクトネスの議論が可能になる。