[論文レビュー] Tangent and Bernoulli numbers related to Motzkin and Catalan numbers by means of numerical triangles

José Luis Arregui|ArXiv.org|Sep 17, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、行列によって生成される数値三角形を介して、ベルヌーイ数とタンジェント数、および組合せ構造（モツキン数とカタラン数）の間の新しい関係を確立する。特定の無限行列を定義することで、最初の列にタンジェント数が得られ、対角成分がリーマンゼータ関数の値を介してベルヌーイ数に関係することを示し、モツキン経路を用いた ζ(2n) の新しい組合せ的解釈と、行列に基づく再帰的システムを提供する。

ABSTRACT

It is shown that Bernoulli numbers and tangent numbers (the derivatives of the tangent function at zero) can be obtained by means of easily defined triangles of numbers in several ways, some of them very similar to the Catalan triangle and a Motzkin-like triangle. Our starting point in order to show this is a new expression of Zeta(2n) involving Motzkin paths.

研究の動機と目的

• ベルヌーイ数とタンジェント数をモツキン数とカタラン数に関連付ける新しい組合せ的枠組みを確立すること。
• タンジェント数が行列によって生成される数値三角形の最初の列として現れることを示すこと。
• ζ(2n) が特定の行列三角形を用いてモツキン経路の列挙を通じて表現可能であることを示すこと。
• 行列に基づく数値三角形を通じて、ベルヌーイ数、タンジェント数、およびセカント数の研究を統合すること。
• アンティンガーの交代順列に関する既存の研究を、行列-三角形形式に統合すること。

提案手法

• n行n+1列の行列A(n)の系列を定義し、行列積 tn = tn−1A(n) により数値三角形 T = (tn,m) を生成する。
• aij = j(j+1)（i ≥ j−1 の場合）、それ以外は0である行列Aを用いて、最初の列が tan(2n−1)(0) を与える三角形を生成する。
• カラビの手法にインspiredされた体積解釈を用いて、ζ(2n) をモツキン経路の和として組合せ的に表現する。
• 変数xを含む行列A(x)を構築し、Pn(x) を生成する。ここで Pn(1) = (n+1)! かつ Pn(0) = tan(n+1)(0) となるようにし、xの小さな値を用いた数値的抽出を可能にする。
• Entringerの再帰式 En+1,k+1 = En+1,k + En,n−k を用いて、行列の部分行列を介してシーデル＝アンティンガー＝アーノルド三角形を生成する。
• 行列積を用いて、修正された行列Aから生成される三角形の特定の成分として、セカント数およびタンジェント数を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タンジェント数とベルヌーイ数は、行列に基づく数値三角形を用いて体系的に生成可能か？
• RQ2 ζ(2n) は、モツキン経路の列挙を用いて、どのように組合せ的に表現可能か？
• RQ3 行列構造がカタラン数、モツキン数、タンジェント数といった数列の生成に果たす役割は何か？
• RQ4 アンティンガーの再帰式は、行列-三角形形式に埋め込まれ、セカント数とタンジェント数の両方を回復可能か？
• RQ5 行列によって生成される三角形を用いた多項式補間法により、Pn(x) をx=0で評価することでタンジェント数を抽出可能か？

主な発見

• aij = j(j+1)（i ≥ j−1 の場合）である行列Aから生成される三角形の最初の列は、タンジェント数 tan(2n−1)(0) の列を生成する。
• 同じ三角形の対角成分は、ζ(2n) を介してベルヌーイ数に関係しており、ζ(2n) はモツキン経路の和として表現可能である。
• 行列A(x)から生成される多項式Pn(x) は、Pn(1) = (n+1)! かつ Pn(0) = tan(n+1)(0) を満たし、xの小さな値を用いたタンジェント数の数値的抽出を可能にする。
• xとj(j+1)を含む行列A(x)から生成される三角形では、Pn(x) は x = 1/(n+1)! のとき、tan(n+1)(0) を誤差1未満で近似する。
• 要素が i+j > n の場合1、それ以外は0である行列A(n)の部分行列を用いて、交代順列のシーデル＝アンティンガー＝アーノルド三角形を再構成可能である。
• aij = 1（i が奇数かつ i ≤ j の場合）または（j が奇数かつ j ≤ i+1 の場合）、それ以外は0である行列Aから生成される三角形では、各行がアンティンガー数の置換であり、最初の列がジグザグ数 βn を与える。