[論文レビュー] Tangent bundles to sub-Riemannian groups

Marius Buliga|ArXiv.org|Jul 25, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、パンス微分および計量接錐に基づく新しい可微分性の概念を定義することにより、部分リーマン多様体群における接バンドルのための画期的な枠組みを提示する。カルノー群間のリプシッツ写像に対して、ほとんど everywhere での可微分性を保証するラデマッハ型定理を確立し、群の性質を保つ接バンドル構造を構築することで、リー群上の非ユークリッド解析における主要な問題を解決する。

ABSTRACT

This paper is about non-Euclidean analysis on Lie groups endowed with left invariant distributions, seen as sub-Riemannian manifolds. This is a an updated version, which will be modified according to the contributions of the other participants to the Borel Seminar. The current version can be downloaded at http://irmi.epfl.ch/cag/buliga_sr.html . All comments are welcomed.

研究の動機と目的

• 部分リーマン多様体リー群における非ユークリッド解析の基礎的問題を解決すること、特に群構造を備えた一貫した接バンドルの欠如に起因する問題を解消すること。
• カルノー群における標準的微分法において、右移動、逆元、群演算が滑らかでないという問題に対処すること。
• 接バンドルが群構造を備え、微分が群準同型となるような微分法の枠組みを構築すること。
• メトリック接錐および冪零化を用いて、パンス＝ラデマッハ微分可能性理論をより広い関数のクラスへと拡張すること。
• 語の接バンドルおよび穏やかな接バンドルの構成を通じて、部分リーマン幾何における一貫性のある、内因的な滑らかさおよび高階微分の概念を構築すること。

提案手法

• 各点におけるスケーリングされた計量のグロモフ＝ハウスドルフ収束を用いて、計量接錐を定義し、リー代数の冪零化 $N(G)$ に等長同型であることを示す。
• 随伴写像 $Ad^G$ および $Ad^N$ の作用を通じて、弱接バンドル ($Weak_0(G)$) および穏やかな接バンドル ($MC^0(G)$, $MC(G)$) の概念を導入する。
• スケーリングされた距離を含む一様収束条件を満たす群準同型 $Df(x): MC^0(G) o MC^0(G')$ を用いて、可微分性を定義する。
• ステパノフ型定理を適用し、カルノー群間のリプシッツ写像が、新しい意味でほとんど everywhere で可微分であることを示す。
• 語の接バンドル $WSO(3)$ を用いて接バンドル構造を構築し、$SO(3)$ に対しては $H(1)$ に同型であることを示す。
• 穏やかな接バンドル $MC(SO(3))$ が $SL(3,\mathbb{R})$ に同型であることを示し、新しい微分法における群構造の保存を実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分リーマン多様体リー群に対して、群構造を備えた一貫した接バンドルを定義することは可能か？ これは、標準的微分法の失敗を克服するものである。
• RQ2 微分が群準同型となり、合成関数の法則が成り立つように、可微分性を再定義することは可能か？
• RQ3 計量接錐、冪零化、およびカルノー群上の内因的微分法との関係は何か？
• RQ4 この新しい枠組みにおいて、部分リーマン多様体群間のリプシッツ写像に対してラデマッハ型定理が成り立つか？
• RQ5 接バンドル構成は群構造を保存できるか？ また、高階微分の意味のある概念を可能にするか？

主な発見

• 微分 $Df(x)$ が $MC^0(G)$ から $MC^0(G')$ への群準同型となるような、新しい可微分性の概念が定義され、群演算との整合性が保証される。
• ラデマッハの定理が拡張される：任意のリプシッツ写像 $f: G \to G'$ は、新しい意味でほとんど everywhere で可微分である。
• $SO(3)$ において分布が $X_1, X_2$ で張られるとき、冪零化はヘイゼンベルク群 $H(1)$ を与え、語の接バンドル $WSO(3)$ は $H(1)$ に同型である。
• 穏やかな接バンドル $MC(SO(3))$ は $SL(3,\mathbb{R})$ に同型である。これは、接バンドル構成が非アーベル群構造を保存することを示している。
• $MC(G)$ を用いて構築された接バンドル $TG$ は、バンドルであるだけでなく、自然な群構造を備えている。これは、従来の構成における主要な制限を解消する。
• この枠組みにより、スケーリングされた計量における一様収束と群準同型を用いて滑らかさが定義される一貫した微分法が可能になる。