[論文レビュー] Tangent bundles with complete lift of the base metric and almost hypercomplex Hermitian-Norden structure

Манчо Манев|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、基底Norden計量の完全上昇を備えたことで、ほぼハイパーカンフォーマルなヘルミート＝ノルデン構造を、ほぼNorden多様体の接束に構成する。この構造の幾何的性質を特徴づけ、h-球面を基底とする場合、$J_\alpha$-全実2次元平面に対しては一定の断面曲率を示し、$J_\alpha$-複素平面に対しては曲率が消えることを示し、基底多様体の曲率テンソルから明示的な曲率式を導出する。

ABSTRACT

The tangent bundle of an almost Norden manifold and the complete lift of the Norden metric is considered as a 4n-manifold. It is equipped with an almost hypercomplex Hermitian-Norden structure. It is characterized geometrically. The case when the base manifold is an h-sphere is considered.

研究の動機と目的

• ほぼNorden多様体 $M$ の接束 $TM$ に、ほぼハイパーカンフォーマルなヘルミート＝ノルデン構造を構成すること。
• 基底Norden計量の完全上昇を備えた $TM$ の幾何的性質を特徴づけること。
• 基底多様体がh-球面（特別なケーラー＝ノルデン多様体）である場合、$TM$ の曲率挙動を分析すること。
• 基底多様体の曲率およびその共変微分を用いて、$TM$ 内のさまざまな2次元平面の断面曲率を特定すること。

提案手法

• 基底多様体 $M$ 上のベクトル場の水平および垂直上昇を用いて、$TM$ 上のほぼ複素構造 $J_1$, $J_2$, $J_3$ を定義する。
• 基底Norden計量 $g$ の完全上昇として $TM$ 上の計量 $\widehat{g}$ を定義し、ヘルミート＝ノルデンの整合性関係を保つ。
• $\widehat{g}$ のリーマン接続を用いて $TM$ の曲率テンソル $\widehat{R}$ を計算し、その成分を基底曲率テンソル $R$ 及びその共変微分 $\nabla R$ で表す。
• h-球面の構造を用いて、$J_\alpha$-複素平面および $J_\alpha$-全実平面の断面曲率を曲率分解と併せて導出する。
• h-球面を基底とする場合、既知の曲率テンソル $R = \nu(\pi_1 - \pi_2) + \nu^*\pi_3$ を用いて曲率式を特殊化する。ここで $\nu = \frac{a}{a^2 + b^2}$, $\nu^* = \frac{-b}{a^2 + b^2}$ である。
• $\mathcal{W}_i$-類を用いて $TM$ 上の構造の分類を分析し、$J_1$ に対しては $TS \in \mathcal{AK}$、$J_2, J_3$ に対しては $\left(\mathcal{W}_1 \oplus \mathcal{W}_2 \oplus \mathcal{W}_3\right) \setminus \left(\mathcal{W}_i \oplus \mathcal{W}_j\right)$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底計量の完全上昇を通じて、ほぼNorden多様体の接束に自然にほぼハイパーカンフォーマルなヘルミート＝ノルデン構造をどのように導入できるか？
• RQ2 $J_\alpha$-複素平面および $J_\alpha$-全実2次元平面の接束 $TM$ 内の断面曲率の性質は何か？
• RQ3 接束 $TM$ の曲率は、基底多様体 $M$ の曲率およびその共変微分とどのように関係しているか？
• RQ4 基底多様体がh-球面（定曲率を持つケーラー＝ノルデン多様体）である場合、どのような特定の曲率挙動が生じるか？
• RQ5 ほぼ$hcHN$-構造の $TM$ 上での $\mathcal{W}_i$-類による分類は何か？また、3つのほぼ複素構造間でどのように異なるか？

主な発見

• ほぼNorden多様体の接束 $TM$ は、基底計量の完全上昇により、明確に定義されたほぼハイパーカンフォーマルなヘルミート＝ノルデン構造を有する。
• パrameters $(a,b)$ を持つh-球面を基底とする場合、$J_1$-複素平面の断面曲率は0に等しく、$J_1$-全実平面の断面曲率は一定で $\frac{a}{a^2 + b^2}$ に等しい。
• $J_2$-複素平面の断面曲率は0に等しく、$J_2$-全実平面の断面曲率は一定で $\frac{a}{a^2 + b^2}$ に等しい。
• $J_3$-複素平面の断面曲率は0に等しく、$J_3$-全実平面の断面曲率は一定で $\frac{a}{a^2 + b^2}$ に等しい。
• $TS$ の曲率テンソル $\widehat{R}$ は明示的に計算され、すべての $i,j$ に対して $\widehat{k}(\xi_i, \eta_j) = \widehat{k}(\xi_i, \eta_{\bar{j}}) = 0$ であり、$i \neq j$ のとき $\widehat{k}(\xi_i, \xi_j) = \widehat{k}(\xi_i, \xi_{\bar{j}}) = \frac{a}{a^2 + b^2}$ であることが示され、$\eta$-ペアに対しても同様の結果が得られる。
• $TS$ 上の構造は $J_1$ に対して $\mathcal{AK}$ に分類され、$J_2$ および $J_3$ に対しては $\left(\mathcal{W}_1 \oplus \mathcal{W}_2 \oplus \mathcal{W}_3\right) \setminus \left(\mathcal{W}_i \oplus \mathcal{W}_j\right)$ に分類され、これはNijenhuisテンソルの非ゼロ成分を示している。