[論文レビュー] Tangent Lie algebras to the holonomy group of a Finsler manifold

Zoltán Muzsnay, Péter T. Nagy|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Finsler多様体に対する新しいホロノミー代数を、曲率ベクトル場とそれらの水平共変微分をBerwald接続を用いて含む、射影的接続上でのベクトル場の最小のリー代数として、無限小ホロノミー代数を構成することにより導入する。その後、任意の曲線に沿ったBerwald平行移動による無限小代数の移動を用いて、全ホロノミー代数を定義する。主な結果として、このホロノミー代数がホロノミー群に接するものであることが示され、非リーマン的Finsler幾何学におけるホロノミー群の接空間を体系的に理解するためのフレームワークを提供する。

ABSTRACT

Our goal in this paper is to make an attempt to find the largest Lie algebra of vector fields on the indicatrix such that all its elements are tangent to the holonomy group of a Finsler manifold. First, we introduce the notion of the curvature algebra, generated by curvature vector fields, then we define the infinitesimal holonomy algebra by the smallest Lie algebra of vector fields on an indicatrix, containing the curvature vector fields and their horizontal covariant derivatives with respect to the Berwald connection. At the end we introduce the notion of the holonomy algebra of a Finsler manifold by all conjugates of infinitesimal holonomy algebras by parallel translations with respect to the Berwald connection. We prove that this holonomy algebra is tangent to the holonomy group.

研究の動機と目的

• 非リーマン的設定において、ホロノミー群に接する体系的な接リー代数が欠如している問題に対処し、Finsler多様体のホロノミー代数を、ホロノミー群に接する形で定義すること。
• 曲率ベクトル場とそれらの共変微分からなるリー代数を構成することにより、Finsler幾何学におけるAmbrose-Singer型定理を拡張すること。
• 無限次元ホロノミー代数における非閉包性の問題を、Berwald接続を用いて明確に定義された最小のリー代数構造を導入することで解決すること。
• リーマンの場合を一般化し、非リーマン的Finsler多様体に適用可能な一貫性のあるホロノミー代数のフレームワークを確立すること。
• 特にホロノミー群が有限次元でない場合に、ホロノミー代数とホロノミー群との接続関係を明確にすること。

提案手法

• 射影的接続上での曲率ベクトル場が生成するリー代数を、ホロノミー群に接することを知られている曲率代数として導入する。
• 無限小ホロノミー代数を、射影的接続上でのベクトル場の最小のリー代数として定義し、曲率ベクトル場とそれらの水平共変微分（Berwald接続による）を含む。
• Berwald接続を用いて曲線に沿ったベクトル場の平行移動を定義し、無限小ホロノミー代数を多様体全体にわたって輸送可能にする。
• 任意のpiecewise smooth曲線に沿ったすべてのBerwald平行移動された無限小ホロノミー代数の和集合として、ホロノミー代数を構成する。
• 平行移動による共転化の概念を適用し、ホロノミー代数がホロノミー変換に対して不変でかつ適切に定義されることを保証する。
• ホロノミー群の1パラメータ部分群の生成子として、ホロノミー代数の要素が生じることを示すことにより、ホロノミー代数がホロノミー群に接することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Finsler多様体のホロノミー群に接する、射影的接続上でのベクトル場のリー代数の中で最大のものは何か？
• RQ2 曲率ベクトル場とそれらの共変微分から、無限小ホロノミー構造を体系的に捉えることができるリー代数をどのように構成できるか？
• RQ3 ホロノミー代数を、平行移動に対して不変かつ多様体の異なる点で一貫性を持つ形で定義できるか？
• RQ4 無限小ホロノミー代数のBerwald平行移動による移動によって構成されたホロノミー代数は、ホロノミー群に接し続けるか？
• RQ5 提案されたホロノミー代数は、一般のFinsler幾何学においてホロノミー群への最大の接リー代数であるか？

主な発見

• 任意の点 p における無限小ホロノミー代数は、それがファイバー化ホロノミー代数から生じており、それ自体がファイバー化ホロノミー群に接するため、ホロノミー群 Hol(p) に接する。
• Finsler多様体の点 p におけるホロノミー代数は、任意の曲線に沿ったすべてのBerwald平行移動された無限小ホロノミー代数を含む、射影的接続上でのベクトル場の最小のリー代数として定義される。
• ホロノミー代数がホロノミー群に接することを証明し、Finslerホロノミーのリー代数的構造に厳密な基礎を確立した。
• Berwald平行移動は接続性を保ち、ホロノミー代数が平行移動のもとでも接続性を維持することを保証する。
• 共変微分と平行移動による共転化の下で閉包性を保証することで、無限次元ホロノミー代数における曖昧さを解消した。
• ホロノミー代数は多様体のすべての点で同型であることが示され、構成の内在的な幾何的性質を反映している。