[論文レビュー] Tangent-point repulsive potentials for a class of non-smooth $m$-dimensional sets in $\\R^n$. Part I: Smoothing and self-avoidance effects

Paweł Strzelecki, Heiko von der Mosel|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^n$ 内の非滑らか $m$ 次元集合に対して、接点反発ポテンシャルエネルギー関数を導入し、指数 $q > 2m$ の場合、エネルギーの有限性が $C^{1,\mu}$ 型の正則性（最適 Hölder 指数 $\mu = 1 - 2m/q$）を強制することを示している。これに加え、位相的自己回避性および一様 Ahlfors 正則性が得られる。結果として、エネルギー制約を介した幾何学的 Morrey-Sobolev 埋め込みが確立される。

ABSTRACT

We consider repulsive potential energies $\\E_q(\\Sigma)$, whose integrand measures tangent-point interactions, on a large class of non-smooth $m$-dimensional sets $\\Sigma$ in $\\R^n.$ Finiteness of the energy $\\E_q(\\Sigma)$ has three sorts of effects for the set $\\Sigma$: topological effects excluding all kinds of (a priori admissible) self-intersections, geometric and measure-theoretic effects, providing large projections of $\\Sigma$ onto suitable $m$-planes and therefore large $m$-dimensional Hausdorff measure of $\\Sigma$ within small balls up to a uniformly controlled scale, and finally, regularizing effects culminating in a geometric variant of the Morrey-Sobolev embedding theorem: Any admissible set $\\Sigma$ with finite $\\E_q$-energy, for any exponent $q>2m$, is, in fact, a $C^1$-manifold whose tangent planes vary in a H\\"older continuous manner with the optimal H\\"older exponent $\\mu=1-(2m)/q$. Moreover, the patch size of the local $C^{1,\\mu}$-graph representations is uniformly controlled from below only in terms of the energy value $\\E_q(\\Sigma)$.

研究の動機と目的

• 非滑らか $m$ 次元集合における接点反発エネルギーの正則化効果を確立すること。
• 有限エネルギーが $q > 2m$ の場合、最適 Hölder 指数 $\mu = 1 - 2m/q$ を伴う $C^{1,\mu}$ 正則性を示すこと。
• このようなエネルギーが自己交差を排除し、位相的に埋め込まれた $\Sigma$ を強制することを示すこと。
• エネルギー値に基づいて、$C^{1,\mu}$-グラフ表現のパッチサイズに対する一様下界を導出すること。

提案手法

• エネルギー関数 $\mathcal{E}_q(\Sigma) = \iint_{\Sigma \times \Sigma} \frac{1}{R_{\rm tp}^q(x,y)} \, d\mathscr{H}^m(x) \, d\mathscr{H}^m(y)$ を定義し、接点半径 $R_{\rm tp}(x,y)$ を用いる。ここで $R_{\rm tp}(x,y)$ は、点 $x$ における接平面に接し、点 $y$ を通る最小の球の半径を表す。
• 許容集合のクラス $\mathcal{A}$ は、コンパクトな $C^1$ 部分多様体の有限和のリプシッツ同相像を含み、事前に自己交差を許容するが、錐状特異点は除外する。
• 勾配の振動を制御するため、スライシングの議論とブートストラップ技法を用いる。
• 幾何的測度論を用いて、接平面間の角度推定と射影の有界性を用い、勾配の Hölder 半ノルムを制御する。
• 平板への集合の射影に関する補題と、射影の測度に対する一様有界性を用い、Hölder 指数の定量的制御を導出する。
• 臨界指数 $q_0 = 2m$ はスケール不変性を示し、$q > 2m$ の場合、すべての特異点および自己交差が除外される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な接点反発エネルギー $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ が $q > 2m$ の場合、非滑らか $m$ 次元集合 $\Sigma \subset \mathbb{R}^n$ にどのような正則性性質を強制するか？
• RQ2 エネルギー $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ は自己交差をどのように防ぎ、$\Sigma$ の位相的埋め込みをどのように強制するか？
• RQ3 エネルギー値 $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ を用いて、接平面の Hölder 正則性を定量的に記述できるか？
• RQ4 エネルギー $q$ と $m$ の関数として、$\Sigma$ の $C^{1,\mu}$-正則性における最適 Hölder 指数 $\mu$ は何か？
• RQ5 エネルギー値 $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ のみに依存する、局所 $C^{1,\mu}$-グラフ表現のパッチサイズに対する一様下界は存在するか？

主な発見

• 任意の $\Sigma \in \mathcal{A}$ に対して、有限な $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ および $q > 2m$ の下で、$\Sigma$ は $C^{1}$-多様体であり、接平面が $\mu$-Hölder 連続である。ここで $\mu = 1 - 2m/q$ は最適である。
• 局所 $C^{1,\mu}$-グラフ表現のパッチサイズは、エネルギー値 $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ のみに依存して一様に下から有界である。
• $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ が $q > 2m$ で有限である場合、$\Sigma$ は自己交差を持たず、したがって埋め込まれた多様体である。
• $\Sigma$ の $m$ 次元 Hausdorff 測度は、小スケールで一様 Ahlfors 正則である。半径 $r$ の球内では測度が $r^m$ と比較可能である。
• エネルギー $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ は、局所パrametrization の勾配の振動を制御する。特に、半径 $t/N$ の球内の点 $u_1, u_2$ に対して、$|\nabla f(u_1) - \nabla f(u_2)| \leq C E_B^{1/q} t^\mu$ が成り立つ。ここで $E_B$ は局所エネルギーの上限である。
• 証明により、$\mathscr{H}^m(\pi_{H_1}(F(G))) \leq C_2(m) K_0 \frac{t^{m+\mu}}{\alpha}$ が得られ、ここで $\alpha = \mathop{\rm dist}(H_1, H_2)$ である。この不等式から最終的な Hölder 評価が導かれる。