[論文レビュー] Tangent power sums and their applications

Vladimir Shevelev, Peter J. C. Moses|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2012

semigroups and automata theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、奇数 n および正の整数 p に対して、正接関数の累乗和 σ(n,p) = ∑_{k=1}^{(n-1)/2} tan²ᵖ(πk/n) の性質を調査する。単位根と基数 n−1 における桁和の性質を用いて、再帰的関係、漸近的公式、および組合せ論的表現（合成と二項係数の交互和を含む）を導出する。主な結果として、σ(n,p) は常に n の整数倍であり、n についての 2p 次多項式であり、その最高次の項は (2²ᵖ⁻¹(2²ᵖ−1)/ (2p)!) |B₂ₚ| n²ᵖ であることが示される。

ABSTRACT

For integer $m, p,$ we study tangent power sum $\sum^m_{k=1} an^{2p}\frac{πk}{2m+1}.$ We prove that, for every $m, p,$ it is integer, and, for a fixed p, it is a polynomial in $m$ of degree $2p.$ We give recurrent, asymptotical and explicit formulas for these polynomials and indicate their connections with Newman's digit sums in base $2m.$

研究の動機と目的

• 奇数 n および正の整数 p に対して、σ(n,p) = ∑_{k=1}^{(n−1)/2} tan²ᵖ(πk/n) が常に n の整数倍であることを確立すること。
• 単位根と基数-(n−1) における桁和の性質を用いて、σ(n,p) の閉形式表現を導出すること。
• σ(n,p) が n についての 2p 次多項式であり、ベルヌーイ数を含む特定の先頭係数を持つことを示すこと。
• 基数 n−1 における桁和算術と組合せ論的数論を結びつけること。
• 組合せ論的係数と桁和制約における交互和を用いて、σ(n,p) の明示的公式を提供すること。

提案手法

• tan²(πk/n) を ω = e²ᵖⁱ⁄ⁿ という単位根の有理関数として表現し、ωᵏ の幾何級数の積の和に帰着させる。
• ∑_{k=0}^{n−1} ωᵏʳ = n（r ≡ 0 (mod n) のとき）、さもなくば 0 であるという恒等式を用い、和を r ≤ (n−1)²ᵖ かつ r ≡ 0 (mod n) である整数 r に対する、基数 n−1 における桁和 s(r) に基づく符号 (−1)ˢ⁽ʳ⁾ の和に還元する。
• 基数 n−1 における n による割り切れ性を特徴付けるために、(n−1)ⁱ ≡ (−1)ⁱ (mod n) という合同式を用い、sᵉ(r) ≡ sᵒ(r) (mod n) という桁和の条件を適用する。
• 基数 n−1 における桁和に制約を課えた整数の合成の生成関数を構成し、各部分が 0 以上 n−2 以下の非負整数解の個数を数える係数 C₀(j,p,n−2) を得る。
• 偶数桁および奇数桁の寄与を対称的に組み合わせることで、σ(n,p) = (n/2) × ∑ⱼ [ (C₀(j,p,n−2))² + 2∑ₖ (−1)ᵏ C₀(j,p,n−2)C₀(j+nk,p,n−2) ] という明示的公式を導出する。
• 正接の平方の特性多項式にニュートンの恒等式を適用し、再帰的関係を導出し、σ(n,p) が n についての多項式であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数 n および正の整数 p に対して、σ(n,p) = ∑_{k=1}^{(n−1)/2} tan²ᵖ(πk/n) の代数的構造は何か？
• RQ2 なぜ σ(n,p) は常に n の整数倍であり、n についての 2p 次多項式として依存するのか？その理由は何か？
• RQ3 σ(n,p) は、合成や基数 n−1 における桁和といった組合せ論的対象を用いて明示的に表現可能か？
• RQ4 σ(n,p) を n についての多項式と見たときの最高次の項は何か？ベルヌーイ数とどのように関係しているか？
• RQ5 基数 n−1 における合成数の積の交互和が、なぜ σ(n,p) の正確な値を導くのか？

主な発見

• σ(n,p) はすべての奇数 n ≥ 3 および正の整数 p に対して n の整数倍であることが、単位根の和と桁和の偶奇性の議論により証明された。
• σ(n,p) は n についての 2p 次多項式であり、その最高次の項は (2²ᵖ⁻¹(2²ᵖ−1)/ (2p)!) |B₂ₚ| n²ᵖ である。ここで B₂ₚ は 2p 番目のベルヌーイ数である。
• 明示的公式として、σ(n,p) = (n/2) × ∑ⱼ [ (C₀(j,p,n−2))² + 2∑ₖ (−1)ᵏ C₀(j,p,n−2)C₀(j+nk,p,n−2) ] が導出された。ここで C₀(j,p,s) は j を p 個の部分に分割する合成の数で、各部分が 0 以上 s 以下の非負整数解を数えるものである。
• n=5, p=2 の場合、公式により σ(5,2) = 90 が得られ、∑_{k=1}² tan⁴(πk/5) ≈ 89.999999 の数値計算と一致し、正確性が確認された。
• n=3 の特殊ケースにおいて、恒等式 ∑_{k=1}^{⌊p/3⌋} (−1)ᵏ⁻¹ ₍₂ₚ₎ₚ₊₃ₖ = ½ ₍₂ₚ₎ₚ − 3ᵖ⁻¹ が得られ、正接和と既知の二項係数恒等式が結びついた。
• Sₙ((n−1)²ᵖ) = ∑_{r≡0 (mod n)} (−1)ˢ⁽ʳ⁾（r < (n−1)²ᵖ の範囲）は 2σ(n,p)/n に等しく、桁和の偶奇性と正接累乗和の直接的な関係が確立された。