[論文レビュー] Tangent spaces and tangent bundles for diffeological spaces

J. Daniel Christensen, Enxin Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 54

ひとこと要約

本稿では、滑らかさ多様体の一般化であり、特異的または無限次元の空間を含む微分空間における接空間の2つの定義——内部的（滑らかな曲線を用いた）と外部的（関数の局所的芽上の微分作用素を用いた）——を導入し、比較する。滑らかな多様体では両者が一致することを証明するが、一般には一致しない。先行研究における接バンドルに関する誤りを是正し、スカラー乗法と加法の滑らかさを保証する洗練された dvs 微分構造を提案する。また、特にコンパクトな多様体の場合に、写像空間の接バンドルとベクトル場の空間との間に同型が成立することを確立する。

ABSTRACT

We study how the notion of tangent space can be extended from smooth manifolds to diffeological spaces, which are generalizations of smooth manifolds that include singular spaces and infinite-dimensional spaces. We focus on two definitions. The internal tangent space of a diffeological space is defined using smooth curves into the space, and the external tangent space is defined using smooth derivations on germs of smooth functions. We prove fundamental results about these tangent spaces, compute them in many examples, and observe that while they agree for smooth manifolds and many of the examples, they do not agree in general. After this, we recall Hector's definition of the tangent bundle of a diffeological space, and show that both scalar multiplication and addition can fail to be smooth, revealing errors in several references. We then give an improved definition of the tangent bundle, using what we call the dvs diffeology, which ensures that scalar multiplication and addition are smooth. We establish basic facts about these tangent bundles, compute them in many examples, and study the question of whether the fibres of tangent bundles are fine diffeological vector spaces. Our examples include singular spaces, spaces whose natural topology is non-Hausdorff (e.g., irrational tori), infinite-dimensional vector spaces and diffeological groups, and spaces of smooth maps between smooth manifolds (including diffeomorphism groups).

研究の動機と目的

• 微分空間における接空間の定義を明確化・形式化すること。微分空間は滑らかな多様体を一般化し、特異的または無限次元の空間を含む。
• 2つの異なる定義（内部的：曲線に基づく、外部的：微分作用素に基づく）を比較し、それらがいつ一致または相違するかを特定すること。
• 特にスカラー乗法と加法の滑らかさに関する問題を含め、先行の接バンドル構成における誤りを特定・是正すること。
• 接バンドルに滑らかなベクトル空間構造を保証するための洗練された dvs 微分構造を導入すること。
• 特にコンパクトな多様体の場合に、写像空間の接バンドルとベクトル場の空間との間に同型を確立すること。

提案手法

• 点を通る滑らかな曲線の同値類を用いて内部的接空間を定義し、速度に類する情報を捉える。
• 点における実数値滑らか関数の局所的芽上の滑らかな微分作用素を用いて外部的接空間を定義する。
• 内部的接空間が次元 ≤2 のプロットにのみ依存するのに対し、外部的接空間が次元 ≤1 のプロットにのみ依存することを証明する。
• 接バンドルにヘクトル微分構造を構成し、加法とスカラー乗法が滑らかでない可能性があることを示す。
• 加法とスカラー乗法の滑らかさを保証する修正された、より細かい微分構造としての dvs 微分構造を導入する。
• 函子的性質と埋め込み技術を用いて、$ X $ がコンパクトで $ N $ が滑らかであれば $ T^{dvs}(C^inity(X,N)) \cong C^inity(X,TN) $ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分空間の内部的および外部的接空間が一致する条件は何か？
• RQ2 微分空間における標準的な接バンドルの構成が、なぜ接バンドルを微分的ベクトル空間としないのか？
• RQ3 加法とスカラー乗法の滑らかさを回復するために、接バンドルに洗練された微分構造を定義できるか？
• RQ4 関数空間 $ C^inity(X,M) $ の接空間は、$ M $ 上のベクトル場の空間とどのように関係するか？
• RQ5 微分同相群の接バンドルと、基になる多様体上の滑らかなベクトル場の空間との正確な関係は何か？

主な発見

• 滑らかな多様体や多くの標準的例では内部的および外部的接空間が一致するが、一般には一致しない。1次元の無理数的トーラスや $ \mathbb{R}^n $ 上のワイヤー微分構造のような反例によってそれが示される。
• 1次元の無理数的トーラスでは、内部的接空間は $ \mathbb{R} $ であるのに対し、外部的接空間は $ \mathbb{R}^0 $ であるため、根本的な相違が生じる。
• 標準的なヘクトルによる接バンドルの構成は、スカラー乗法と加法が滑らかでないため、複数の先行研究における主張を無効にしている。
• dvs 微分構造が導入され、それが接バンドルが微分的ベクトル空間となることを保証することが証明された。
• コンパクトな滑らかな多様体 $ M $ に対して、微分同相群 $ \mathfrak{Diff}(M) $ の恒等元における接空間は、$ M $ 上の滑らかなベクトル場の空間と同型である。これは文献における重要な結果を確認する。
• $ X $ がコンパクトな $ D $-位相を持つとき、写像 $ \gamma: T^{dvs}(C^\infty(X,N)) \to C^\infty(X,TN) $ は $ C^\infty(X,N) $ 上の微分的ベクトル空間の同型である。これは深い構造的同型を確立する。