[論文レビュー] Tangent spaces to metric spaces and to their subspaces

Oleksiy Dovgoshey|ArXiv.org|Apr 28, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 9被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、点に収束する列と正規化列を用いて、一般の距離空間に対する内挿的接空間の新しい概念を導入する。2つの部分空間が共通点において等長接空間を持つための条件を確立し、そのような等長性が、部分空間が強く接空間同値であるときにかつそのときに限り成立することを証明する。応用例として、曲線、曲面、およびユークリッド空間内の特異的集合が含まれる。

ABSTRACT

We investigate a tangent space at a point of a general metric space and metric space valued derivatives. The conditions under which two different subspace of a metric space have isometric tangent spaces in a common point of these subspaces are completely determinated.

研究の動機と目的

• 任意の距離空間に対して線形構造に依存せずに、接空間の内挿的概念を構築すること。
• 接空間を用いて距離空間値の微分を定義し、非線形設定における微分を可能にすること。
• 2つの距離空間の部分空間が共通点において等長接空間を持つための必要十分条件を特定すること。
• 強接空間同値性を用いて、準接空間がモデル空間（例：$\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{C}$）と等長であるときの特徴づけを行うこと。
• 列に基づく極限を用いて、距離測度空間における微分可能性と幾何的構造を研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 点に収束する列の族からなる擬距離空間を構成し、正規化列 $\tilde{r}$ を用いて距離的同定を施し、準接空間を定義する。
• 列の相互安定性を、極限 $\tilde{d}_{\tilde{r}}(\tilde{x},\tilde{y}) = \lim_{n\to\infty} \frac{d(x_n,y_n)}{r_n}$ を用いて定義する。
• 準接空間の完備性を保証するため、自己安定な列の族の最大族を構成する。
• ツォルンの補題を用いて、基点における定数列を含む最大自己安定族の存在を保証する。
• 同値関係 $\tilde{x} \sim \tilde{y} \iff \tilde{d}(\tilde{x},\tilde{y}) = 0$ による商空間 $\Omega_{a,\tilde{r}}$ を接空間として定義する。
• 部分空間間の等長的準接空間を特徴づけるために、距離と正規化列を含む極限関係を用いた、強接空間同値性を鍵となる条件として導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの距離空間の部分空間が共通点において等長準接空間を持つのはどのような条件下か？
• RQ2 距離空間の点における準接空間が $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$, または $\mathbb{C}$ のようなモデル空間と等長であるのはいつか？
• RQ3 接空間を用いて、距離空間値の微分を内挿的にどのように定義できるか？
• RQ4 正規化列 $\tilde{r}$ の選択が、準接空間の構造にどのように影響するか？
• RQ5 強接空間同値性の概念を用いて、距離空間内の部分空間の局所的幾何的構造を分類できるか？

主な発見

• 距離空間 $X$ の2つの部分空間 $Y$ と $Z$ が共通点 $a$ において等長準接空間を持つための必要十分条件は、$a$ において強く接空間同値であることである。
• $C^1$-滑らかで $t_0$ において微分が非ゼロの曲線 $F: [0,1] \to E^n$ に対して、任意の正規化列に対して、点 $a = F(t_0)$ における準接空間は $\mathbb{R}$ と等長である。
• $Y$ が $X$ の稠密部分空間であるならば、任意の $a \in Y$ において $X$ と $Y$ は強く接空間同値であり、したがってそれらの準接空間は互いに等長である。
• 0における微分が共通の $n$ 個の関数のグラフの和集合に対して、原点における準接空間は $\mathbb{R}$ と等長である。
• $E^n$ 内の $C^1$-写像でランクが2のヤコビアンを持つ曲面に対して、像点における準接空間は $\mathbb{C}$ と等長である。
• 特異的集合 $\{(x,y,z) \in E^3 : \sqrt{y^2 + z^2} \leq x^{1+\alpha}, x \geq 0\}$ に対して、原点における準接空間は $\mathbb{R}^+$ と等長である。