[論文レビュー] Tangential dimensions for metric spaces and measures

Daniele Guido, Tommaso Isola|arXiv (Cornell University)|May 6, 2003

Point processes and geometric inequalities被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ℝ^Nにおける距離空間および測度に対して接線的次元を導入し、体積倍加条件の下で拡大された集合および接線測度の極限を用いて上接線的次元と下接線的次元を定義する。これらの次元は、局所次元が一定であっても、局所的多分形の振動を検出できることを示しており、翻訳フラクタルにおいて非可換幾何的類似物と正確に一致する。ここで接線的次元は点ごとに一定であるが、上・下の値が異なる場合がある。

ABSTRACT

Notions of (pointwise) tangential dimension are considered, both for subsets and measures of R N. Under regularity conditions (volume doubling), the upper resp. lower dimension at a point x of a measure µ can be defined as the supremum, resp. infimum, of local dimensions of the measures tangent to µ at x. Moreover, we introduce and study the notion of tangent space of a closed subset X of R N at x as the collection of its tangent sets at x, defined as suitable (Attouch- Wets) limits of dilations of X around the point x. Then, under regularity conditions, the upper, resp. lower, tangential dimensions of X at x can be defined as the supremum, resp. infimum, of box dimensions of the sets tangent to X at x. Our main purpose is that of introducing a tool which is very sensitive to the ”multifractal behaviour at a point ” of a set, resp. measure, namely which is able to detect the ”oscillations ” of the dimension at a given point, even when the local dimension exists, namely local upper and lower dimensions coincide. These definitions are tested on a class of fractals, which we call translation fractals, where they can be explicitly calculated. In these cases the tangential dimensions of the fractal coincide with the tangential dimensions of an associated invariant measure, and they are constant, i.e. do not depend on the point. However, upper and lower dimensions may differ. Moreover, on these fractals, these quantities coincide with their noncommutative analogues, defined in a previous paper [9], in the framework of Alain Connes ’ noncommutative geometry.

研究の動機と目的

• 個々の点における集合および測度の次元の局所的多分形の振動を検出するための感受性の高いツールを開発すること。
• 点 x における閉集合 X ⊂ ℝ^N の接線空間を、x の周囲の X の拡大版のすべての Attouch-Wets 極限の集合として定義すること。
• 測度に対しては、点 x における接線測度とその局所次元を考慮することで、上接線的次元および下接線的次元を定義すること。
• 接線的次元と非可換幾何的不変量との間の関係を、ある種のフラクタルを介して確立すること。
• 翻訳フラクタルにおいて、接線的次元が一定であり、かつそれらの非可換類似物と一致することを示すこと。

提案手法

• 閉集合 X ⊂ ℝ^N の点 x における接線空間を、x の周囲の X の拡大版のすべての Attouch-Wets 極限の集合として定義する。
• 点 x における X の上接線的次元および下接線的次元を、接線集合のボックス次元の上界および下界として定義する。
• 測度に対しては、点 x における接線測度の局所次元の上界および下界として、上接線的次元および下接線的次元を定義する。
• 意味のある極限および定義の安定性を保証するため、体積倍加を正則性条件として用いる。
• 明示的な計算が可能な翻訳フラクタル（翻訳を用いて構成された自己相似集合）にこの枠組みを適用する。
• 結果をコンネスの枠組みから得られる非可換幾何的不変量と比較し、研究対象のフラクタルクラスにおいて正確に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所次元の上界と下界が一致する場合でも、接線的次元は点における次元の振動を検出可能か？
• RQ2 同じフラクタル上での不変測度に関連する集合の接線的次元と、その測度の接線的次元の関係は何か？
• RQ3 翻訳フラクタルにおいて、局所次元の変動が生じる可能性があるにもかかわらず、点ごとの接線的次元は一定のままであるか？
• RQ4 フラクタルの接線的次元が、非可換幾何的類似物とどの程度一致するか？
• RQ5 体積倍加は、接線的次元の定義の安定性と一貫性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 翻訳フラクタルにおいて、集合および関連する不変測度の上接線的次元と下接線的次元は、すべての点で一致し、一定である。
• 翻訳フラクタルの接線的次元は、コンネスの枠組みで定義された非可換幾何的類似物と一致する。
• 局所次元の上界と下界が等しい場合でも、接線的次元は点における次元の振動的挙動を検出可能である。
• 接線的次元の枠組みは、拡大された集合および接線測度の極限を分析することにより、微細な多分形構造を的確に捉えている。
• 体積倍加は、接線的次元が定義され、極限過程における安定性を保証する。
• この手法は、標準的な局所次元が振動を検出できない場合に特に、個々の点における多分形挙動を分析する強固なツールを提供する。