[論文レビュー] Tangential dimensions I. Metric spaces

Daniele Guido, Tommaso Isola|ArXiv.org|May 6, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Gromov–Hausdorff収束における接集合のボックス次元の上限と下限を用いて定義される、点におけるフラクタルの振動を局所的に測る上・下接次元を導入する。主な貢献は、局所的上・下ボックス次元が一致する場合でも、これらの次元が異なる可能性があることを示し、より細かいスケールの多フラクタル的挙動を明らかにすることにある。

ABSTRACT

Pointwise tangential dimensions are introduced for metric spaces. Under regularity conditions, the upper, resp. lower, tangential dimensions of X at x can be defined as the supremum, resp. infimum, of box dimensions of the tangent sets, a la Gromov, of X at x. Our main purpose is that of introducing a tool which is very sensitive to the "multifractal behaviour at a point" of a set, namely which is able to detect the "oscillations" of the dimension at a given point. In particular we exhibit examples where upper and lower tangential dimensions differ, even when the local upper and lower box dimensions coincide. Tangential dimensions can be considered as the classical analogue of the tangential dimensions for spectral triples introduced in math.OA/0202108 and math.OA/0404295, in the framework of Alain Connes' noncommutative geometry.

研究の動機と目的

• メトリック空間内の個々の点におけるフラクタル次元の振動的挙動に敏感な局所的次元概念を構築すること。
• Gromovの接錐にインspiredして、点における接集合のボックス次元の上限と下限として、上・下接次元を定義すること。
• 接次元が、標準的な局所的ボックス次元では捉えきれない多フラクタル的振動を検出できることを示すこと。
• Connesの非可換幾何学における非可換接次元の古典的類似を確立すること。
• 平行移動フラクタルに適用可能な枠組みを提供すること。この場合、接次元は不変測度から導かれる次元と一致する。

提案手法

• スケーリングパラメータが無限大に近づく際の、点付きGromov–Hausdorff収束におけるスケーリングされたバージョンの極限点として、メトリック空間の点における接集合を定義する。
• 各接集合のボックス次元を局所的次元の候補とし、それらすべての接集合についての上界と下界として、上・下接次元を定義する。
• 点付き位相におけるスケーリングされた空間の収束を形式化するために、Gromov–Hausdorff距離を用いる。
• カバー数の成長を制御し、次元に関する境界と関連付けるために、スケーリングパラメータの列と関連関数 $ g(t,h) $ および $ p(t,j) $ を分析する。
• 覆い関数の最大変動 $ S $ を含む不等式を用いて、次元関連集合の上界同士の差を抑え込む。
• 無限大に発散するスケーリング行動を示す次元の集合を特徴付けるために、列 $ ilde{V}_h^d $ と $ ilde{V}^d $ を用い、それらを接次元と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な局所的ボックス次元が一定であっても、局所的次元概念が点におけるフラクタル次元の振動的挙動を検出可能か？
• RQ2 上・下接次元は、Gromov–Hausdorff極限における接集合のボックス次元とどのように関係するか？
• RQ3 古典的接次元と、Connesの非可換幾何学における非可換接次元との関係は何か？
• RQ4 平行移動フラクタルにおいて、接次元は不変測度から導かれるメトリック次元と一致するか？
• RQ5 上・下接次元の差は定量的に評価可能か？また、それは局所的幾何に何を示唆するか？

主な発見

• 局所的上・下ボックス次元が等しい場合でも、上・下接次元は異なることがあり、これは振動的挙動に敏感であることを示している。
• 交互に $ q=2 $ と $ q=3 $ のステップをとる修正されたシルピンスキー・フラクタルについて、接次元は $ rac{\text{log }3}{\text{log }2} < rac{\text{log }18}{\text{log }6} < rac{\text{log }6}{\text{log }3} $ となり、非自明な接次元の区間を示している。
• 交互に $ q=1 $ と $ q=2 $ をとる修正されたビクゼク・フラクタルについて、接次元は $ rac{\text{log }5}{\text{log }3} < rac{\text{log }65}{\text{log }15} < rac{\text{log }13}{\text{log }5} $ であり、再び非退化な区間を示している。
• 集合 $ V $ の上界と集合 $ ilde{V} $ の上界の差は、覆い関数の最大変動 $ S $ を用いて $ rac{2S}{\bar{\rho}} $ で抑え込まれる。
• 任意の $ \bar{\rho} > 0 $ に対して、$ \bar{t}_n \to \infty $ となる列 $ \bar{t}_n $ が存在し、$ g(t,h)/h $ の上極限が、$ \bar{t}_n $ 沿いの下極限に $ \frac{2S}{\bar{\rho}} $ を加えたもの以上に抑えられる。これは収束の制御を示している。
• $ \mathbb{R}^n $ 内の平行移動フラクタルの接次元は、メトリック次元および非可換接次元と一致し、古典的アプローチの妥当性が裏付けられた。