[論文レビュー] Tangential Structures on Toric Manifolds, and Connected Sums of Polytopes

Victor Matveevich Buchstaber, Nigel Ray|ArXiv.org|Oct 2, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、全方向指向トーリック多様体を導入し、各全方向指向がトーラス作用と整合する安定複素構造を自然に誘導することを示している。これにより、等置換コボルディズム環への要素が定義される。主な貢献は、次元>2の任意の複素コボルディズム類が、全方向指向から生じる安定複素構造を持つ連結トーリック多様体を含むことの証明であり、代数的多様体に対するヒルツブルフの問いのトーリック版を解決する。

ABSTRACT

We extend work of Davis and Januszkiewicz by considering {\it omnioriented} toric manifolds, whose canonical codimension-2 submanifolds are independently oriented. We show that each omniorientation induces a canonical stably complex structure, which is respected by the torus action and so defines an element of an equivariant cobordism ring. As an application, we compute the complex bordism groups and cobordism ring of an arbitrary omnioriented toric manifold. We consider a family of examples $B_{i,j}$, which are toric manifolds over products of simplices, and verify that their natural stably complex structure is induced by an omniorientation. Studying connected sums of products of the $B_{i,j}$ allows us to deduce that every complex cobordism class of dimension >2 contains a toric manifold, necessarily connected, and so provides a positive answer to the toric analogue of Hirzebruch's famous question for algebraic varieties. In previous work, we dealt only with disjoint unions, and ignored the relationship between the stably complex structure and the action of the torus. In passing, we introduce a notion of connected sum $#$ for simple $n$-dimensional polytopes; when $P^n$ is a product of simplices, we describe $P^n# Q^n$ by applying an appropriate sequence of {\it pruning operators}, or hyperplane cuts, to $Q^n$.

研究の動機と目的

• トーリック多様体理論をデイヴィスとジャヌシュキエヴィチの理論に拡張するため、全方向指向トーリック多様体を導入し、その標準的codimension-2部分多様体が独立に向き付けられることを示す。
• 各全方向指向がトーラス作用を保つ安定複素構造を誘導することを示し、多様体を等置換コボルディズム環に埋め込む。
• 次元>2の任意の複素コボルディズム類が、全方向指向から生じる安定複素構造を持つ連結トーリック多様体を含むことの証明により、代数的多様体に対するヒルツブルフの問いのトーリック版を解決する。
• 単純な多面体に対して、刈り込み作用素と超平面カットを用いて、直和の組み合わせ的概念を定義する。
• この枠組みを用いて、任意の全方向指向トーリック多様体の複素ボルディズム環とコボルディズム環が計算可能であることを示す。

提案手法

• トーリック多様体に全方向指向の概念を導入し、標準的codimension-2部分多様体に一貫した向き付けを割り当てる。
• トーラス作用と整合する、各全方向指向トーリック多様体に自然な安定複素構造を定義する。これは、安定接束への誘導された複素構造を用いる。
• その商多面体に関する組み合わせ的演算を用いて、トーリック多様体の直和を構成する。刈り込み作用素と超平面カットを用いて、$P^n \# Q^n$ を記述する。
• 等置換直和 $M^{2n} \#_{x,y} N^{2n}$ と標準的直和との微分同相性を確立し、誘導された安定複素構造が元の構造の直和と一致することを示す。
• 単体の直積である $B_{i,j}$ の族を、直和を用いてすべての複素ボルディズム類を生成するための構成要素として用いる。
• 各 $B_{i,j}$ に安定複素構造が全方向指向から誘導され、それらの直和が複素ボルディズム環を生成することを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元>2の任意の複素コボルディズム類は、トーラス作用と整合する安定複素構造を持つ連結トーリック多様体によって表されるか？
• RQ2 トーリック多様体の直和は、その商多面体のレベルでどのように組み合わせ的に定義できるか？
• RQ3 トーリック多様体の安定複素構造とその全方向指向との関係は何か？
• RQ4 刈り込み作用素と超平面カットは、単純な多面体の直和をどのように記述するか？
• RQ5 全方向指向トーリック多様体の複素ボルディズム環は、その組み合わせ的データを用いて明示的に計算可能か？

主な発見

• 次元が2より大きい任意の複素コボルディズム類には、全方向指向から生じる安定複素構造を持ち、トーラス作用と整合する連結トーリック多様体が含まれる。
• 商多面体の組み合わせ的刈り込みを用いて構成された2つの全方向指向トーリック多様体の直和は、元の構造の直和である安定複素構造を持つ新たなトーリック多様体を生成する。
• 複素ボルディズム環 $\varOmega_*^U$ は、単体の直積で表され、全方向指向をもつトーリック多様体 $B_{i,j}$ のボルディズム類によって生成される。
• $P^n$ と $Q^n$ という単純な多面体に対して $P^n \# Q^n$ を、$Q^n$ に適用する刈り込み作用素の列または超平面カットを用いて記述し、直和の組み合わせ的モデルを提供する。
• 直和 $M^{2n} \#_{x,y} N^{2n}$ における安定複素構造は、標準的直和と微分同相であり、元の構造の直和とコボルディズム的同値である。
• 次元1では弱化された意味で結果が成り立つ：$\mathbb{CP}^1$ は $\varOmega_2^U \cong \mathbb{Z}$ を表すが、$n = \pm 1$ の場合にのみ構造が全方向指向から誘導される。この場合、特徴的写像の定義を変更することで結果を拡張可能である。